Question

3．如图所示，BC是半径为R的竖直面内的圆弧轨道，轨道末端C在圆心O的正下方，∠BOC=60°，将质量为m的小球，从与O等高的A点水平抛出，小球恰好从B点沿圆弧切线方向进入圆轨道，由于小球与圆弧之间有摩擦，能够使小球从B到C做匀速圆周运动．重力加速度大小为g．则（　　）

• A． 从B到C，小球克服摩擦力做功为$\frac{1}{2}$mgR
• B． 从B到C，小球与轨道之间摩擦力保持不变
• C． 在C点，小球对轨道的压力大小等于mg
• D． A、B两点间的距离为$\sqrt{\frac{7}{12}}$R

Answer 1

分析 小球进入轨道前做平抛运动，应用平抛运动规律可以求出小球的初速度、小球的水平与竖直位移，从而求出A、B两点的距离，由牛顿第二定律与牛顿第三定律可以求出小球对轨道的压力．

解答 解：AD、小球做从A到B做平抛运动，在B点，小球速度方向偏角θ=60°，
则$tan60°=\frac{{v}_{y}}{{v}_{A}}$，v_y=gt
竖直方向的位移y=Rcos60°=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
水平方向的位移x=v_At
解得x=$\frac{\sqrt{3}}{3}R$
则A、B两点的距离${x}_{AB}=\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}=\sqrt{\frac{7}{12}}R$，
在B点时小球的速度$v=\sqrt{{{v}_{A}}^{2}+{{v}_{y}}^{2}}=\frac{2\sqrt{3gR}}{3}$
球从B到C做匀速圆周运动，则由能量守恒定律可知
小球克服摩擦力做的功等于重力做的功${W}_{G}=mgR（R-Rcos60°）=\frac{1}{2}mgR$，故A正确，D正确；
B、从B到C，小球做匀速圆周运动，合外力指向圆心，则沿着速度方向的合力为零，即摩擦力等于重力沿速度方向的分力，而重力沿速度方向的分力逐渐减小，则摩擦力逐渐减小，由牛顿第三定律可知小球对轨道之间摩擦力逐渐减小，故B错误；
C、在C点，轨道对小球的支持力设为F_N
则有${F}_{N}-mg=m\frac{{v}^{2}}{R}$
解得F_N=$\frac{7}{3}mg$，由牛顿第三定律可知，在C点小球对轨道的压力也为$\frac{7}{3}mg$，故C错误；
故选：AD

点评 本题考查了平抛运动和圆周运动，分析清楚小球运动过程、应用运动的合成与分解、运动学公式、牛顿第二定律即可正确解题．