Question

8．如图所示，质量均为m的小球A和B，球B置于光滑水平面上，当球A从高为h处由静止摆下，到达最低点恰好与B相碰，并粘合在一起继续摆动，绳长为l．求：
（1）小球A和B相碰后，绳子的拉力多大？
（2）他们能上升的最大高度是多少？

Answer 1

分析 （1）根据机械能守恒求得A球摆到最低点时的速度，再根据动量守恒求碰撞后两球共同速度，由向心力公式求得绳的拉力；
（2）根据机械能守恒求他们能上升的最大高度．

解答 解：（1）根据机械能守恒
$mgh=\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$
可知，A球摆到最低点时的速度
${v}_{A}=\sqrt{2gh}$
AB碰撞过程中满足动量守恒有：
mv_A=（m+m）v
可得碰撞后的共同速度$v=\frac{m{v}_{A}}{2m}=\frac{1}{2}\sqrt{2gh}$
对AB小球所受合力提供圆周运动向心力有：
$T-2mg=2m\frac{{v}^{2}}{R}$
可得绳中拉力T=$2m（g+\frac{{v}^{2}}{R}）=2m（g+\frac{\frac{1}{2}gh}{l}）=2mg+\frac{mgh}{l}$
（2）AB碰撞后，只有重力对其做功，根据机械能守恒有：
$\frac{1}{2}（m+m）{v}^{2}=2mg{h}_{x}$
所以它们能上升的最大高度为：${h}_{x}=\frac{1}{4}h$
答：（1）小球A和B相碰后，绳子的拉力为$2mg+\frac{mgh}{l}$；
（2）他们能上升的最大高度是$\frac{1}{4}h$．

点评 两小球在碰撞过程中满足动量守恒，在碰撞前下的下落和碰撞后的上升都满足机械能守恒，在最低点时小球所受合力提供圆周运动向心力，这是解决本题的关键点．