Question

19．在如图甲所示的坐标系中，0≤X≤L的区域内有方向垂直纸面向外的匀强磁场．两块相距很近的平行于y轴小极板a、b，其中间各开一个小孔，b极板小孔A的坐标为（0，L），两极板件电压U_ab随时间t的变化如图乙所示，电压最大值为U₀，周期为t₀．从极板a孔连续不断地由静止释放质量为m，电荷量为q的带正电的粒子（不计重力），粒子经电场加速后垂直y轴进入磁场（粒子在两极板间运动的时间极短，粒子通过两极板时可认为两极板间的电压不变）．若t=t₀时刻（此时U_ab=U₀）释放的粒子恰好通过D（L，0）．
（1）求磁感应强度B的大小．
（2）求经过点E（$\frac{L}{2}$，0）的粒子通过两极板时的加速电压．

Answer 1

分析 （1）带电粒子先经过电场加速获得速度，再由在匀强磁场中做匀速圆周运动，根据动能定理求出加速得到的速度．由几何关系求出磁场中轨迹半径，再根据洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律求B．
（2）画出粒子的运动轨迹，由几何知识求出轨迹半径，再用与上题相同的思路求解两极板时的加速电压．

解答 解：（1）粒子在电场中加速，根据动能定理得：
  qU₀=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
得：v₀=$\sqrt{\frac{2q{U}_{0}}{m}}$
设磁感应强度为B，带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，则：
qv₀B=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{{R}_{0}}$
由几何关系可知，由D点射出的粒子的半径R₀=L
解得：B=$\frac{1}{L}$$\sqrt{\frac{2m{U}_{0}}{q}}$
（2）设由E点射出的粒子的轨迹半径为r，速度为v，由几何关系可知：
（L-r）²+$（\frac{L}{2}）^{2}$=r²
解得：r=$\frac{5}{8}$L
在磁场中，由牛顿第二定律得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$
可得：v=$\frac{5qBL}{8m}$
设经过点E的粒子通过两极板时的加速电压为U．
则有：qU=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
解得：U=$\frac{25}{64}$U₀．
答：（1）磁感应强度B的大小为$\frac{1}{L}$$\sqrt{\frac{2m{U}_{0}}{q}}$．
（2）经过点E（$\frac{L}{2}$，0）的粒子通过两极板时的加速电压为$\frac{25}{64}$U₀．

点评 带电粒子在电场中加速时，不论是匀强电场还是非匀强电场，都可运用动能定理求速度．带电粒子在磁场中匀速圆周运动的问题，需要根据几何知识作出轨迹，求出轨迹半径．