题目内容

3.我国首个月球探测计划“嫦娥工程”将分三个阶段实施,大约用十年左右时间完成,这极大地提高了同学们对月球的关注程度.以下是某同学就有关月球的知识设计的两个问题,请你解答:
(1)若已知地球半径为R,地球表面的重力加速度为g,月球绕地球运动的周期为T,且把月球绕地球的运动近似看作是匀速圆周运动.试求出月球绕地球运动的轨道半径.
(2)若某位宇航员随登月飞船登陆月球后,在月球某水平表面上方h高处以速度v0水平抛出一个小球,小球落回到月球表面的水平距离为s.已知月球半径为R,万有引力常量为G.试求出月球的质量M

分析 (1)月球绕地球的运动时,由地球的万有引力提供向心力,由牛顿第二定律列出月球的轨道半径与地球质量等物理量的关系式;物体在地球表面上时,由重力等于地球的万有引力求出地球的质量,再求出月球的轨道半径.
(2)小球在在月球某水平表面上方h高处以速度v0水平抛出一个小球,求出月球表面的重力加速度,根据重力等于万有引力求出月球的质量.

解答 解:(1)地球表面的物体受到的重力等于万有引力:G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=mg,
月球绕地球做圆周运动,万有引力题干向心力,由牛顿第二定律得:G$\frac{M{m}_{月}}{{r}^{2}}$=m$(\frac{2π}{T})^{2}$r,
解得:r=$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$;
(2)小球做平抛运动,
竖直方向:h=$\frac{1}{2}$gt2
水平方向:s=0t,
万有引力等于重力:G$\frac{{M}_{月}m}{{R}_{月}^{2}}$=mg
解得:M=$\frac{2h{R}_{月}^{2}{v}_{0}^{2}}{G{s}^{2}}$;
答:(1)球绕地球运动的轨道半径为$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$.
(2)月球的质量M为$\frac{2h{R}_{月}^{2}{v}_{0}^{2}}{G{s}^{2}}$.

点评 本题是卫星类型的问题,常常建立这样的模型:环绕天体绕中心天体做匀速圆周运动,由中心天体的万有引力提供向心力.

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