Question

3．我国首个月球探测计划“嫦娥工程”将分三个阶段实施，大约用十年左右时间完成，这极大地提高了同学们对月球的关注程度．以下是某同学就有关月球的知识设计的两个问题，请你解答：
（1）若已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，月球绕地球运动的周期为T，且把月球绕地球的运动近似看作是匀速圆周运动．试求出月球绕地球运动的轨道半径．
（2）若某位宇航员随登月飞船登陆月球后，在月球某水平表面上方h高处以速度v₀水平抛出一个小球，小球落回到月球表面的水平距离为s．已知月球半径为R_月，万有引力常量为G．试求出月球的质量M_月．

Answer 1

分析 （1）月球绕地球的运动时，由地球的万有引力提供向心力，由牛顿第二定律列出月球的轨道半径与地球质量等物理量的关系式；物体在地球表面上时，由重力等于地球的万有引力求出地球的质量，再求出月球的轨道半径．
（2）小球在在月球某水平表面上方h高处以速度v₀水平抛出一个小球，求出月球表面的重力加速度，根据重力等于万有引力求出月球的质量．

解答 解：（1）地球表面的物体受到的重力等于万有引力：G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=mg，
月球绕地球做圆周运动，万有引力题干向心力，由牛顿第二定律得：G$\frac{M{m}_{月}}{{r}^{2}}$=m_月$（\frac{2π}{T}）^{2}$r，
解得：r=$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$；
（2）小球做平抛运动，
竖直方向：h=$\frac{1}{2}$g_月t²，
水平方向：s=₀t，
万有引力等于重力：G$\frac{{M}_{月}m}{{R}_{月}^{2}}$=mg_月，
解得：M_月=$\frac{2h{R}_{月}^{2}{v}_{0}^{2}}{G{s}^{2}}$；
答：（1）球绕地球运动的轨道半径为$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$．
（2）月球的质量M_月为$\frac{2h{R}_{月}^{2}{v}_{0}^{2}}{G{s}^{2}}$．

点评 本题是卫星类型的问题，常常建立这样的模型：环绕天体绕中心天体做匀速圆周运动，由中心天体的万有引力提供向心力．