题目内容
11．
如图所示，在竖直平面内固定有两个很靠近的同心圆形轨道，外圆ABCD的光滑，内圆A′B′C′D′的上半部分B′C′D′粗糙，下半部分B′A′D′光滑．一质量m=0.2kg的小球从轨道的最低点A，以初速度v0向右运动，球的尺寸略小于两圆间距，球运动的半径R=0.2m，取g=10m/s2．（1）若要使小球始终紧贴外圆做完整的圆周运动，初速度v0至少为多少？
（2）若v0=3m/s，经过一段时间小球到达最高点，内轨道对小球的支持力N=2N，则小球在这段时间内克服摩擦力做的功是多少？
分析 （1）紧贴外圆做圆周运动，在最高点的临界情况是重力提供向心力，根据牛顿第二定律结合机械能守恒定律求出初速度的最小值．
（2）根据牛顿第二定律求出最高点的速度大小，根据动能定理求出克服摩擦力做的功．
解答 解：（1）设使小球始终紧贴外圆做完整的圆周运动，小球到达最高点的最小速度为vC，则有
mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
小球从最低点到最高点的过程，由机械能守恒定律有
$\frac{1}{2}$mv02=$\frac{1}{2}$mvc2+2mgR
联立解得 v0=$\sqrt{5gR}$=$\sqrt{5×10×0.2}$m/s=3.16m/s．
（2）设此时小球到达最高点的速度为vc′，克服摩擦力做的功为W，则
mg-N=m$\frac{{v}_{c}^{′2}}{R}$
小球从最低点到最高点的过程，由动能定理有
-2mgR-W=$\frac{1}{2}$mvc′2-$\frac{1}{2}$mv02
代入数据解得 W=0.1J．
答：
（1）要使小球始终紧贴外圆做完整的圆周运动，初速度v0至少为3.16m/s．
（2）小球在这段时间内克服摩擦力做的功是0.1J．
点评 本题综合考查了动能定理、牛顿第二定律和机械能守恒定律，关键是理清运动过程，抓住临界状态，运用合适的规律进行求解．
练习册系列答案
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1．
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16．
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