Question

14．火星可视为半径为r 的均匀球体，它的一个卫星绕火星运行的圆轨道半径为R，周期为T．求：
（1）火星的质量．（万有引力常量为G）
（2）火星表面的重力加速度．
（3）在火星表面离地h处以水平速度v₀抛出的物体，落地时速度多大．（不计火星空气阻力）

Answer 1

分析 卫星绕火星做圆周运动受到的万有引力提供向心力，列出等式求出火星的质量；
根据万有引力等于重力求解火星表面的重力加速度．
根据动能定理求解落地时速度．

解答 解：（1）卫星绕火星做圆周运动受到的万有引力提供向心力，列出等式
G$\frac{mM}{{R}^{2}}$=m$\frac{{4π}^{2}R}{{T}^{2}}$
解得：M=$\frac{{{4π}^{2}R}^{3}}{{GT}^{2}}$，
（2）根据火星表面万有引力等于重力得
$\frac{GMm}{{r}^{2}}$=mg
解得：g=$\frac{GM}{{r}^{2}}$=$\frac{{{4π}^{2}R}^{3}}{{{T}^{2}r}^{2}}$
（3）在火星表面离地h处以水平速度v₀抛出的物体，
根据动能定理得
mgh=$\frac{1}{2}$mv²-$\frac{1}{2}$m${v}_{0}^{2}$
解得：v=$\sqrt{2gh{+v}_{0}^{2}}$=$\sqrt{\frac{8h{{π}^{2}R}^{3}}{{{T}^{2}r}^{2}}{+v}_{0}^{2}}$

答：（1）火星的质量是$\frac{{{4π}^{2}R}^{3}}{{GT}^{2}}$；
（2）火星表面的重力加速度是$\frac{{{4π}^{2}R}^{3}}{{{T}^{2}r}^{2}}$．
（3）在火星表面离地h处以水平速度v₀抛出的物体，落地时速度是$\sqrt{\frac{8h{{π}^{2}R}^{3}}{{{T}^{2}r}^{2}}{+v}_{0}^{2}}$．

点评 解决本题的关键掌握万有引力提供向心力和万有引力等于重力这两个理论，并能熟练运用．