Question

13．如图所示，光滑水平面上静止着一辆长度L=5m、质量M=1kg的平板车，车的左端放有一个质量m=1.95kg的小物块，在车子右侧足够远处有一固定的竖直的光滑半圆轨道，轨道半径R=0.1m，轨道的底部与水平面相切且与车子上表面等高．现有一质量m₀=0.05kg的子弹以一定的向右的水平速度在极短的时间内射入小物块且留在其中，经过一段时间，物块运动到距平板车右端x=2m处时和车达到共速；随后，车子与竖直轨道相撞并粘在了轨道上．已知小物块冲上半圆轨道后到达最高点时对轨道的压力大小为60N，g=10m/s²．
（1）求小物块刚刚冲上半圆轨道时，对轨道底部的压力大小；
（2）求小物块与车之间的动摩擦因数；
（3）求子弹打入小物块的短暂过程中，小物块对子弹的冲量．

Answer 1

分析 （1）先由牛顿第二定律求出小物块在最高点的速度，然后由机械能守恒求出小物块刚刚冲上半圆轨道时的速度，最后由牛顿第二定律求出小物块刚刚冲上半圆轨道时对轨道的压力；
（2）小物块在平板车上运动的过程中，车与小物块、子弹组成的系统的动量守恒，由此求出它们的共同速度；结合功能关系求出损失的机械能的表达式；车子与竖直轨道相撞并粘在了轨道上后，小物块在平板车上做匀减速直线运动，由运动学的公式求出损失的动能的表达式；联立即可求出动摩擦因数；
（3）由上一步的公式求出子弹进入小物块后二者的速度，由动量守恒定律求出子弹的初速度，然后由动量定理即可求出子弹打入小物块的短暂过程中，小物块对子弹的冲量．

解答 解：（1）小物块与子弹组成的系统在最高点受到的重力与轨道的压力提供向心力，小物块在半圆轨道最高点时的速度为v₄，由牛顿第二定律得：
$F+（m+{m}_{0}）g=（m+{m}_{0}）•\frac{{v}_{4}^{2}}{R}$
代入数据得小物块在最高点的速度：v₄=2m/s，
设小物块刚刚冲上半圆轨道时的速度为v₃，小物块与子弹组成的系统沿半圆轨道向上运动的过程中机械能守恒，则：
$\frac{1}{2}（m+{m}_{0}）{v}_{3}^{2}$=$（m+{m}_{0}）g•2R+\frac{1}{2}（m+{m}_{0}）{v}_{3}^{2}$
代入数据得小物块刚刚冲上半圆轨道时的速度：${v}_{3}=2\sqrt{2}$m/s
小物块刚刚冲上半圆轨道时对轨道的压力：${F}_{N}=（m+{m}_{0}）g+（m+{m}_{0}）•\frac{{v}_{3}^{2}}{R}$
代入数据得：F_N=180N
（2）子弹进入小物块后，与小物块一起在平板车上做匀减速直线运动，在平板车上运动的过程中，车与小物块、子弹组成的系统的动量守恒，设子弹的初速度为v₀，子弹进入小物块后的共同速度为v₁，三者达到速度相等时的速度为v₂，
小物块（与子弹一起）在平板车上运动的过程中，它们组成的系统的动量守恒，选取向右为正方向，则：
（m+m₀）v₁=（m+m₀+M）v₂
代入数据可得：${v}_{2}=\frac{2}{3}{v}_{1}$   ①
由功能关系可得：$-μ（m+{m}_{0}）g（L-2）=\frac{1}{2}（m+{m}_{0}+M）{v}_{2}^{2}-\frac{1}{2}（m+{m}_{0}）{v}_{1}^{2}$  ②
联立①②，代入数据可得：$60μ=\frac{1}{3}{v}_{1}^{2}=\frac{3}{4}{v}_{2}^{2}$③
车子与竖直轨道相撞并粘在了轨道上后，小物块在平板车上做匀减速直线运动，由动能定理公式得：
$-μ（m+{m}_{0}）g•x=\frac{1}{2}（m+{m}_{0}）{v}_{3}^{2}-\frac{1}{2}（m+{m}_{0}）{v}_{2}^{2}$  ④
将④式代入数据可得：$40μ={v}_{2}^{2}-{v}_{3}^{2}$   ⑤
联立③⑤可得：v₁=6m/s，v₂=4m/s，μ=0.2
（3）子弹进入小物块后二者的速度相等，该过程中二者组成的系统的动量守恒，由动量守恒定律得：
m₀v₀=（m+m₀）v₁
所以子弹的初速度：v₀=240m/s，
对子弹由动量定理得：I=m₀v₁-m₀v₀=0.05×（6-240）=-11.7kg•m/s．负号表示方向向左．
答：（1）小物块刚刚冲上半圆轨道时，对轨道底部的压力大小是180N；
（2）小物块与车之间的动摩擦因数是0.2；
（3）子弹打入小物块的短暂过程中，小物块对子弹的冲量大小是11.7kg•m/s，方向向左．

点评 该题考查动量守恒定律以及功能关系的综合应用，由于涉及的过程比较多，要求同学们能根据解题需要选择不同的运动过程运用动量守恒定律、动能定理解题，同时要注意选取正方向．