Question

1．如图所示，A、B两板间电势差为U₁=400V，C、D两板长为L=1m，两板间电势差为U₂=200V，OO′为C、D两板间的中间线．在O处有一电荷量为q=1×10^-6C、质量为m=2×10^-8 kg的带电粒子，经A、B间电场加速又经C、D间电场偏转后，恰好能从极板右边缘射出，同时进入一个垂直纸面向里的匀强磁场区域，磁感应强度为B=1T．带电粒子能够垂直打到磁场的右边界处的光屏PQ上．若不考虑空气阻力和粒子重力的影响，求：
（1）C、D两板间的距离d是多少？
（2）匀强磁场的宽度s是多少？
（3）若改变磁感强度B的大小，欲使该带电粒子打不到光屏PQ上，则B的大小满足什么条件？

Answer 1

分析 （1）利用动能定理求得经过AB得到的速度，应用类平抛模型求解偏转距离，进而得到CD板间距离；
（2）由进入磁场和离开此场的角度，即匀速圆周运动的速度及向心力的关系，求得圆周运动半径，再由几何关系得到磁场宽度；
（3）先求出临界条件，在对临界条件划分的区域进行讨论即可得到满足条件．

解答 解：（1）电荷量为q=1×10^-6C、质量为m=2×10^-8 kg的带电粒子，由静止经A、B间电场加速，速度变为v_B，
则由动能定理可得：$q{U}_{1}=\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}$；
所以，${v}_{B}=\sqrt{\frac{2q{U}_{1}}{m}}=\sqrt{\frac{2×1×1{0}^{-6}×400}{2×1{0}^{-8}}}m/s=200m/s$；
因为C、D两板长为L=1m，两板间电势差为U₂=200V，OO′为C、D两板间的中间线，
所以，C、D两板相当于有$E=\frac{{U}_{2}}{d}$的匀强电场，
带电粒子受到$F=qE=\frac{q{U}_{2}}{d}$的力作类平抛运动，
带电粒子在偏转电场中运动时间${t}_{L}=\frac{L}{{v}_{B}}=\frac{1}{200}s$，
带电粒子恰好能从极板右边缘射出，偏移高度$\frac{d}{2}=\frac{1}{2}\frac{F}{m}{{t}_{L}}^{2}=\frac{1}{2}\frac{q{U}_{2}}{md}{{t}_{L}}^{2}$，
所以，$d=\sqrt{\frac{q{U}_{2}}{m}}{t}_{L}=\sqrt{\frac{1×1{0}^{-6}×200}{2×1{0}^{-8}}}×\frac{1}{200}m=\frac{1}{2}m$；
（2）带电粒子进入匀强磁场时速度v的水平分量v_x=v_B=200m/s，竖直分量${v}_{y}=\frac{F}{m}{t}_{L}=\frac{q{U}_{2}}{md}{t}_{L}=\frac{1×1{0}^{-6}×200}{2×1{0}^{-8}×\frac{1}{2}}×\frac{1}{200}m/s=100m/s$
v与水平方向的夹角θ，有$tanθ=\frac{{v}_{y}}{{v}_{x}}=\frac{1}{2}$；$v=\sqrt{{{v}_{x}}^{2}+{{v}_{y}}^{2}}=100\sqrt{5}m/s$；
带电粒子在磁场运动的几何关系如图所示，；
由洛伦兹力做向心力，带电粒子做匀速圆周运动，$Bvq=m\frac{{v}^{2}}{R}$
所以，$R=\frac{mv}{Bq}$=$\frac{2×1{0}^{-8}×100\sqrt{5}}{1×1×1{0}^{-6}}m=2\sqrt{5}m$；
匀强磁场的宽度$s=Rsinθ=2\sqrt{5}×\frac{1}{\sqrt{5}}m=2m$；
（3）设磁感应强度B大小为B₀时，粒子运动轨迹恰好与PQ相切，则有rsinθ+r=s，所以，$r=\frac{s}{1+sinθ}=\frac{5-\sqrt{5}}{2}m$，
再根据洛伦兹力作向心力，所以有${B}_{0}vq=m\frac{{v}^{2}}{r}$，
所以，${B}_{0}=\frac{mv}{qr}=1+\sqrt{5}（T）$；
当$B＞1+\sqrt{5}（T）$时，粒子没有碰到PQ就转回来了；当B＜1T时，粒子从磁场下边界跑出去．
答：（1）C、D两板间的距离d是$\frac{1}{2}$m；
（2）匀强磁场的宽度s是2m；
（3）若改变磁感强度B的大小，欲使该带电粒子打不到光屏PQ上，则$B＜1T或B＞1+\sqrt{5}（T）$．

点评 在带电粒子在磁场的偏转问题中，经常用到几何关系，这时，建议画图理解，用图象具象化，帮助我们理解运动过程．