Question

4．如图甲，足够长的 U型金属导轨固定放置在倾角为θ（未知）的绝缘斜面上，并处于垂直斜面向下的匀强磁场中，磁感应强度B=0.5T．质量为m=0.1kg、电阻为r=0.2Ω的导体棒ab垂直放在导轨上，与导轨接触良好，且不计摩擦．导轨宽度l=0.4m，仅cd边有电阻，其阻值为R（未知）．如图乙是导体棒ab从静止开始沿导轨下滑过程中的加速度与速度关系，g取10m/s²，求：
（1）当棒的速度达到最大值时，棒中的感应电流大小和方向；
（2）当棒的速度达到最大速度的一半时，ab棒所受安培力的功率；
（3）已知棒从静止开始下滑4m的过程中ab棒上产生的热量Q为0.8J，求下滑到4m时棒的速度v的大小以及这一过程中流过ab棒的电量q．

Answer 1

分析 （1）由图示图象求出速度对应的加速度，然后应用牛顿第二定律与平衡条件可以求出电流；应用右手定则可以判断出电流方向．
（2）由图示图象求出速度对应的加速度，然后应用牛顿第二定律求出安培力，再应用功率公式P=Fv求出功率．
（3）由能量守恒定律求出导体棒的速度，然后应用法拉第电磁感应定律、欧姆定律与电流的定义式求出电荷量．

解答 解：（1）由图象可得：
当v=0时加速度：a=6m/s²，此时：mgsinθ=ma，
当速度最大时加速度为0，此时：mgsinθ=BIl，
解得：I=3A，由右手定则可知，电流方向为：由a流向b；
（2）由图可知当速度为最大值一半，即3m/s时，棒的加速度为3m/s²，
对棒，由牛顿第二定律得：mgsinθ-F_A=ma，
此时安培力的功率：p_A=F_Av，
解得：p_A=0.9W；
（3）棒ab产生的电动势：E=Blv，
回路中感应电流：$I=\frac{E}{R+r}$，
对棒ab，由牛顿第二定律得：mgsinθ-BIl=ma，
整理得：$a=gsinθ-\frac{{{B^2}{l^2}v}}{m（R+r）}$，
由图示图象可知：a=6-v，
解得：sinθ=0.6，R=0.2Ω；
因为电流处处相等，棒ab与cd上的焦耳热之比Q：Q'=r：R=1：1，
回路中的总焦耳热为  Q_总=2Q=1.6J，
由能量守恒定律得：mgxsinθ=$\frac{1}{2}$mv²+Q_总，解得：v=4m/s，
感应电动势：E=$\frac{△Φ}{△t}$，感应电流：I=$\frac{E}{R+r}$，电荷量：q=I△t，
解得：q=2C；
答：（1）当棒的速度达到最大值时，棒中的感应电流大小为3A，方向：由a流向b；
（2）当棒的速度达到最大速度的一半时，ab棒所受安培力的功率为0.9W；
（3）下滑到4m时棒的速度v的大小为4m/s，这一过程中流过ab棒的电量q为2C．

点评 分析清楚导体棒的运动过程是解题的前提，由图示图象求出速度与加速度的关系是解题的关键，应用牛顿第二定律、能量守恒定律、法律的电磁感应定律、欧姆定律、电流定义式等知识点即可解题．