Question

15．2014年10月24日02时00分，我国自行研制的探月工程三期再人返回飞行试验器，在西昌卫星发射中心用长征三号丙运载火箭发射升空，我国探月工程首次实施的再入返回飞行试验首战告捷．假设月球是一个质量为M，半径为R的均匀球体．万有引力常数为C，下列说法正确的是（　　）

• A． 在月球上发射一颗环绕其表面运行的卫星，它的最小周期为2πR$\sqrt{\frac{R}{GM}}$
• B． 在月球上发射一颗环绕其表面运行的卫星，它的最大运行速度为$\sqrt{\frac{R}{GM}}$
• C． 在月球上以初速度v₀竖直上抛一个物体，物体上升的最大高度为$\frac{{{R^2}v_0^2}}{GM}$
• D． 在月球上以初速度v₀竖直上抛一个物体，物体落回到抛出点所用时间为$\frac{{{R^2}v_0^{\;}}}{GM}$

Answer 1

分析 物体在月球表面时，万有引力等于重力，列式求出月球表面的重力加速度．
由万有引力提供向心力表示出线速度和周期进行求解．
根据竖直上抛运动公式求解物体上升的最大高度和时间．

解答 解：AB、由万有引力提供向心力得：G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{r}$=m（$\frac{2π}{T}$）²r知，
v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$，T=2π$\sqrt{\frac{{r}^{3}}{GM}}$，当轨道半径r=R时，线速度最大，周期最小．所以在月球上发射一颗绕它运行的卫星的最小周期为2πR$\sqrt{\frac{R}{GM}}$，在月球上发射一颗绕它运行的卫星的最大速度为$\sqrt{\frac{GM}{R}}$，故B错误，A正确；
C、在月球表面，物体受到的重力等于物体与月球间的万有引力，$\frac{GMm}{{R}^{2}}$=mg
在月球表面以初速度v₀竖直上抛一个物体，
根据竖直上抛运动公式得：
物体上升的最大高度h=$\frac{{v}^{2}}{2g}$=$\frac{{R}^{2}{v}_{0}^{2}}{2GM}$．故C错误；
D、月球上以初速度ν₀竖直上抛一个物体，物体落回到抛出点所用时间t=2$\frac{{v}_{0}}{g}$=2$\frac{{R}^{2}{v}_{0}}{GM}$，故D错误；
故选：A．

点评 本题是竖直上抛运动公式和万有引力的综合应用，它们之间联系的纽带是重力加速度g，要比较一个物理量大小，我们可以把这个物理量先表示出来，再进行比较．是一道好题．