Question

14．如图所示，一小球质量m=0.5kg，通过长L=1.2m的轻质细绳悬挂在距水平地面高H=2.8m的天花板上，现将小球往左拉开某一角度后释放，结果细绳恰好在小球运动到最低点A时断裂，小球飞出后恰好垂直撞在水平地面上与细绳在同一竖直面内圆心为O的半圆环上的B点．已知圆环的半径R=1m，OB与竖直线OC的夹角θ=37°，空气阻力不计，小球可视为质点，取sin37°=0.6，cos37°=0.8，g=10m/s²．
（1）求细绳断裂前瞬间对小球的拉力大小F；
（2）求O点到A点的水平距离d；
（3）现用另一相同长度的轻质细线将小球悬挂在天花板上后，再将小球向左拉开另一角度．若小球在最低点时绳断裂，且小球从A点飞出的速度大小v_A=3$\sqrt{2}$m/s，试通过计算判断小球能否通过半圆环．

Answer 1

分析 （1）小球从最低点做平抛运动，根据几何关系求得竖直下落的高度，求得运动的时间，根据速度的关系求得平抛时的初速度，根据牛顿第二定律求得拉力；
（2）水平方向匀速运动，根据x=vt求得位移；
（3）根据平抛运动的特点求得刚好通过半圆形最高点的水平位移即可判断

解答 解：（1）设小球从A点运动到B点的时间为t，由于恰好垂直撞在半圆形轨道的B点，有：
$H-L-Rcosθ=\frac{1}{2}g{t}^{2}$
小球在B点时沿竖直方向的分速度大小为：
v_y=gt
有几何关系可知，此时小球的水平方向的分速度大小为：
v₀=v_ytanθ
细绳断裂前瞬间有：
$F-mg=\frac{{mv}_{0}^{2}}{L}$
解得：F=8.75N
（2）小球平抛运动的水平位移为：x=v₀t
由几何关系有：s=x+Rsinθ
解得：d=1.8m
（3）当小球水平抛出的速度为${v}_{A}=3\sqrt{2}$m/s时，若恰好越过半圆环到达地面，则小球的水平位移为：
$x′={v}_{A}\sqrt{\frac{2（H-L）}{g}}=2.4m$
小球的抛出点A与D的水平距离为AD=R+d=2.8m
由于x′＜AD，可知小球不能越过半圆环
答：（1）求细绳断裂前瞬间对小球的拉力大小F为8.75N；
（2）求O点到A点的水平距离d为1.8m
（3）小球不能通过半圆环；

点评 本题考查了平抛运动和圆周运动的综合运用，知道平抛运动在水平方向和竖直方向上的运动规律，以及圆周运动向心力的来源是解决本题的关键．