Question

5．在真空中，半径r=3×10^-2m的圆形区域内有匀强磁场，方向如图所示，磁感应强度B=0.2T，一束相同的带电粒子，以相同的初速度v=1.2×10⁶m/s同时从磁场边界上直径ab的一端a沿不同方向射向磁场，已知该粒子的比荷$\frac{q}{m}$=10⁸C/kg，不计粒子重力及粒子间的相互作用，求：
（1）粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径是多少？
（2）粒子在磁场中运动的最长时间为多少？（结果保留两位有效数字）

Answer 1

分析 （1）根据洛伦兹力作为向心力可以计算半径的大小；
（2）做出轨迹图，利用几何关系判断出当弦长为多少时运动时间最长，从而可以计算出粒子在磁场中运行的最长时间．

解答 解：（1）由洛伦兹力提供向心力得：$q{v}_{0}B=m\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$
解得：$R=\frac{m{v}_{0}}{qB}=0.06m$
（2）如图所示，以ab为弦长的圆弧对应运动时间最长．
由图可知：$sinθ=\frac{r}{R}=\frac{0.3}{0.6}=0.5$
所以θ=30°
运动的时间为 $t=\frac{2θ}{360°}•T=\frac{πm}{3qB}$
代入数据得：t_m=5.2×10^-8s
答：（1）粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径是0.06m；
（2）粒子在磁场中运动的最长时间为5.2×10^-8s

点评 解决带电粒子在匀强磁场中匀速圆周运动问题时，应首先确定圆心的位置，找出半径，做好草图，利用数学几何并结合运动规律进行求解．
（1）圆心的确定：因洛伦兹力始终指向圆心，根据洛伦兹力的方向与速度的方向垂直，画出粒子运动轨迹中的任意两点（一般是射入和射出磁场的两点）的洛伦兹力的方向，其延长线的交点即为圆心．
（2）半径的确定和计算，半径的计算一般是利用几何知识，常用解三角形的方法．
（3）在磁场中运动时间的确定，由求出t，t=$\frac{θ}{2π}T$（θ为弧度）（θ为度数）；应注意速度矢量转过的角度θ，就是圆半径转过的角度，以及弦切角与圆心角的关系