Question

3．如图所示，间距L=lm的光滑平行金属导轨固定在绝缘水平面上，导轨左侧水平，右侧与水平面成θ=37°（sin37°=0.6、cos37°=0.8），两部分导轨平滑连接，导轨电阻不计，导轨右端连有R=0.5Ω的电阻，空间存在着磁感应强度为B=1T的竖直向上的匀强磁场．t=0时刻，有一质量m=lkg、电阻r=0.5Ω的金属棒以v₀=10m/s的初速度从导轨上某一位置PP′开始沿导轨向右滑行，同时对金属棒施加一个水平向右且垂直于金属棒的外力F，使金属棒做加速度大小为2m/s²的匀减速直线运动．已知金属棒垂直于导轨且与导轨接触良好，PP′距离水平导轨右端d=9m．在t=ls时撤去外力F，从撤去外力开始到金属杆运动到最高点的过程中，电阻R上产生的热量为4J，g取10m/s²，求：
（1）金属杆能达到的距水平导轨的最大高度；
（2）从撤去外力开始到金属棒运动到最高点的过程中，通过电阻R的电量q．

Answer 1

分析 （1）由金属棒在水平导轨做匀减速运动，求得撤去外力时的位置及速度；然后分析金属棒受力，再应用动能定理即可求解；
（2）求得闭合电路的电流表达式，然后写出在极短时间内通过电阻的电量，在对整个过程进行累加即可求解．

解答 解：（1）金属棒在外力的作用下以初速度v₀=10m/s，加速度大小a=2m/s²减速运动1s的位移$x={v_0}t-\frac{1}{2}a{t^2}$=$10×1-\frac{1}{2}×2×{1}^{2}m=9m$；
故t=1s时金属杆刚好运动到水平导轨最右端，此时速度v=v₀-at=8m/s；
撤去外力后，金属杆沿倾斜导轨向上运动，设速度为v'，则金属杆切割磁感线产生的电动势E=BLv′cosθ=0.8v′，所以，通过金属杆的电流$I=\frac{E}{R+r}=0.8v′$，
则安培力方向为水平向左，安培力大小为F=BIL=0.8v′，
则金属杆在沿倾斜导轨方向上的合外力大小为F'=Fcos37°+mgsin37°=6+0.64v′（N），方向沿斜面向下，故金属杆向上做变减速直线运动直至速度为零．
在此过程中，设金属杆能上升的最大高度为h，克服安培力做功为W_安，由动能定理得：$-{W_安}-mgh=-\frac{1}{2}m{v^2}$；
由串联电路的焦耳定律可知：金属杆与电阻R在相同时间内产生的热量相等，即：Q_R=Q_r；
金属杆克服安培力做的功等于金属杆和电阻R产生的热量之和：W_安=Q_R+Q_r；
所以，$h=\frac{\frac{1}{2}m{v}^{2}-{W}_{安}}{mg}=\frac{\frac{1}{2}m{v}^{2}-2{Q}_{R}}{mg}$=$\frac{\frac{1}{2}×1×{8}^{2}-2×4}{1×10}m=2.4m$；
（2）由（1）可知，电流I=0.8v′，那么在极短时间△t内通过电阻R的电量为△q=I△t=0.8△s，那么在整个上滑过程金属棒的位移$s=\frac{h}{sinθ}=\frac{2.4}{0.6}m=4m$；
所以，对整个上滑过程的电量进行累加可得：q=0.8s=3.2C．
答：（1）金属杆能达到的距水平导轨的最大高度为2.4m；
（2）从撤去外力开始到金属棒运动到最高点的过程中，通过电阻R的电量q为3.2C．

点评 在闭合电路切割磁感线的问题中，一般由速度求得电动势，再根据电路求得电流，进而得到安培力的表达式；然后我们就可以通过受力分析，应用牛顿第二定律求得运动方程式，并有动能定理求得功、能量的相关问题．