Question

15．CD、EF是两条水平放置的平行金属导轨，导轨间距为L，电阻不计，导轨的右端有一阻值为R的电阻，左端与一弯曲的光滑轨道平滑连接．在水平导轨的左侧存在方向垂直导轨平面向上的匀强磁场，磁感应强度大小为B，磁场区域的宽度为d，如图所示，将一电阻值也是R的导体棒从弯曲轨道上h高处由静止水平释放，导体棒最终恰好停在磁场的右边界处．已知导体棒与导轨接触良好并始终保持水平状态，与导轨之间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，试求：
（1）电阻R中的最大电流I_m为多大？
（2）流过电阻R的电荷量q为多少？
（3）电阻R中产生的焦耳热Q_R为多少？

Answer 1

分析 （1）金属棒在弯曲轨道下滑时，只有重力做功，机械能守恒，由机械能守恒定律或动能定理可以求出金属棒到达水平面时的速度，由E=BLv求出感应电动势，然后求出感应电流；
（2）根据电荷量的计算公式结合法拉第电磁感应定律和闭合电路的欧姆定律求解；
（3）克服安培力做功转化为焦耳热，由动能定理（或能量守恒定律）可以求出克服安培力做功，得到电阻R上产生的焦耳热．

解答 解：（1）金属棒下滑到最低点时感应电流最大，由机械能守恒定律得：
mgh=$\frac{1}{2}$mv²，
所以金属棒到达水平面时的速度为：v=$\sqrt{2gh}$
根据法拉第电磁感应定律可得最大感应电动势为：E=BLv，
根据闭合电路的欧姆定律可得最大的感应电流为：I_m=$\frac{E}{R+R}$=$\frac{BL\sqrt{2gh}}{2R}$；
（2）流过电阻R的电荷量为：q=It
根据法拉第电磁感应定律可得：E=$\frac{△Φ}{△t}$，
根据闭合电路的欧姆定律可得：I=$\frac{E}{2R}$
解得：q=$\frac{△Φ}{2R}$=$\frac{BLd}{2R}$；
（3）金属棒在整个运动过程中，由动能定理得：mgh-W_A-μmgd=0，
则克服安培力做功为：W_A=mgh-μmgd，
所以整个电路中产生的焦耳热为：Q=W_B=mgh-μmgd，
串联电路电流强度相等，根据Q_R=I²Rt可得R上产生的焦耳热为：
Q_R=$\frac{1}{2}$（mgh-μmgd）．
答：（1）电阻R中的最大电流I_m为$\frac{BL\sqrt{2gh}}{2R}$；
（2）流过电阻R的电荷量q为$\frac{BLd}{2R}$；
（3）电阻R中产生的焦耳热Q_R为$\frac{1}{2}$（mgh-μmgd）．

点评 对于电磁感应问题研究思路常常有两条：
一条从力的角度，重点是分析安培力作用下导体棒的平衡问题，根据平衡条件列出方程；
另一条是能量，分析涉及电磁感应现象中的能量转化问题，根据动能定理、功能关系等列方程求解．