Question

18．如图所示，水平轨道MN与半径为R的竖直光滑圆弧轨道相切于N点．质量为m的小滑块A静止于P点．质量为M=2m的小滑块B以速度v₀向右运动，A、B碰后粘连在一起，已知A、B与水平面间的动摩擦因数为μ，MP和PN距离均为R，求：
（1）AB碰撞过程中损失的机械能？
（2）当v₀的大小在什么范围时，两小球在圆弧轨道内运动时不会脱离圆弧轨道？已知重力加速度为g．

Answer 1

分析 （1）由动能定理求出B到达P处的速度，然后由动量守恒定律求出AB碰撞后的速度，结合功能关系即可求出损失的机械能；
（2）若不能经过最高点又不会脱离圆弧轨道，A、B最高只能运动到与圆心等高的地方，根据机械能守恒定律求出A球碰后的速度，由动量守恒定律求出B的初速度；
若经过最高点，根据牛顿第二定律求出A球在最高点的速度，根据机械能守恒定律求出A球碰后的速度，由动量守恒定律求出B的初速度．

解答 解：（1）小滑块B运动到P时的速度设为v₁，对B应用动能定理有：
-μMgR=$\frac{1}{2}$Mv₁²-$\frac{1}{2}$Mv₀²，
当ab粘在一起过程中，设ab粘在一起时的速度为v₁，对ab应用瞬间动量守恒，选取向右为正方向，有：
Mv₁=（M+m）v₂，
应用功能关系可知ab碰撞过程中损失的机械能△E=$\frac{1}{2}$Mv₁²-$\frac{1}{2}$（M+m）v₂²，
解得△E=$\frac{m（{v}_{0}^{2}-2μgR）}{3}$；
（2）A、B碰撞后的速度为v₁，欲使A、B运动时不脱离圆弧轨道，有两种可能：
①当v₀较小时A、B在圆弧上摆动，若A、B最高点恰好能到与圆心等高的位置，对A、B，从碰后到与圆心等高的地方，由动能定理有：
-μ（M+m）gR-（M+m）gR=0-$\frac{1}{2}$（M+m）v₂²，
联立得v₀=$\sqrt{\frac{（9+13μ）gR}{2}}$；
②当v₀较大时，A、B能够做完整的圆周运动．若A、B恰好做完整圆周运动时的情形，对A、B，从碰后运动到圆周最高点（设此时速度为v₃）的过程中，由动能定理有：
-μ（M+m）gR-（M+m）g（2R）=$\frac{1}{2}$（M+m）v₃²-$\frac{1}{2}$（M+m）v₂²，
在最高点时，由牛顿第二定律得（M+m）g=$\frac{（M+m）{v}_{3}^{2}}{R}$，
联立得v₀=$\sqrt{\frac{（45+26μ）gR}{4}}$，综上所述，当v₀≤$\sqrt{\frac{（9+13μ）gR}{2}}$或v₀≥$\sqrt{\frac{（45+26μ）gR}{4}}$时，两小球在圆弧轨道内运动时不会脱离圆弧轨道．
答：（1）AB碰撞过程中损失的机械能为$\frac{m（{v}_{0}^{2}-2μgR）}{3}$；
（2）当v₀≤$\sqrt{\frac{（9+13μ）gR}{2}}$或v₀≥$\sqrt{\frac{（45+26μ）gR}{4}}$时，两小球在圆弧轨道内运动时不会脱离圆弧轨道．

点评 本题考查了动量守恒定律、机械能守恒定律、圆周运动等规律，综合性较强，需在平时的学习中加强训练，同时要注意等于运动的过程的分析．