Question

19．如图所示，半径R=0.4m的圆盘水平放置，绕竖直轴OO′匀速转动，在圆心O正上方h=0.8m高处固定一水平轨道，与转轴交于O′点．一质量m=1kg的小车（可视为质点）可沿轨道运动，现对其施加一水平拉力F=4N，使其从左侧B处由静止开始沿轨道向右运动，BO′=2m，当小车运动到O′点时，从小车上自由释放一小球，此时圆盘的半径OA正好与轨道平行，且A点在O的右侧．小车与轨道间的动摩擦因数μ=0.2，g取10m/s²．
（1）若小球刚好落到A点，求小车运动到O′点的速度大小；
（2）为使小球刚好落在A点，圆盘转动的角速度应为多大？
（3）为使小球能落到圆盘上，小车在水平拉力F作用时运动的最大距离？

Answer 1

分析 （1）物块离开O′点后做平抛运动，可以求出平抛运动的时间和平抛运动的初速度，从而得出小车运动到O′点速度；
（2）若圆盘转一圈，物块恰好调入小桶，此时作用力时间最短．圆盘转一圈的时间与平抛运动时间是相等．从而得出圆盘转动的角速度最小值．也有可能在平抛运动时间内，圆盘转动N圈．因此求出转动角速度．
（3）小球能落在圆盘上，则可利用平抛运动，可求出小球抛出的速度范围，从而得出小球的加速度最大值．最终运用牛顿第二定律可求出水平拉力的最大距离．

解答 解：（1）小球离开小车后，由于惯性，将以离开小车时的速度作平抛运动，h=$\frac{1}{2}$gt²
 R=vt         
小车运动到O′点的速度v=$\frac{R}{t}$
联立解得：v=1m/s；
（2）为使小球刚好落在A点，则小球下落的时间为圆盘转动周期的整数倍，有t=kT=$\frac{2kπ}{ω}$，其中k=1，2，3…
即ω=2kπ$\sqrt{\frac{g}{2h}}$=5kπrad/s，其中k=1，2，3…
（3）小球若能落到圆盘上，其在O′点的速度范围是：0＜v≤1m/s     
设水平拉力作用最大距离为x，对应到达O′点的速度分别为1m/s．
由动能定理，有 Fx₁-μmgx₀=0    
代入数据解得x₁=1m
根据动能定理，有 Fx-μmgx₀=$\frac{1}{2}$mv²-0 
代入数据解得x=1.125m
小车在水平拉力F作用时运动的最大距离为1.125m     
答：（1）若小球刚好落到A点，求小车运动到O′点的速度1m/s．
（2）为使小球刚好落在A点，圆盘转动的角速度应为5kπrad/s，其中k=0，1，2，3…
（3）小车在水平拉力F作用时运动的最大距离为1.125m．

点评 解决本题的关键知道物块整个过程的运动：匀加速直线运动、匀减速直线运动和平抛运动，知道三个过程的运动时间与圆盘转动的时间相等．以及熟练运用运动学公式．