Question

19．如图所示的装置可绕竖直轴OO′转动，可视为质点的小球A与细线1、2连接后分别系于B、C两点，装置静止时细线1水平，细线2与竖直方向的夹角θ=37°．已知小球的质量m=1kg，细线2长l=1m，B点距C点的水平和竖直距离相等．重力加速度g=10m/s²，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8．
（1）若装置匀速转动的角速度为ω₁时，细线1上的张力为零而细线2与竖直方向的夹角仍为37°，求角速度ω₁的大小；
（2）若装置匀速转动的角速度ω₂=$\sqrt{\frac{50}{3}}$ rad/s，求细线2与竖直方向的夹角．

Answer 1

分析 （1）当细线AB张力为零时，绳子AC拉力和重力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律求出角速度的大小．
（2）装置匀速转动的角速度ω₂=$\sqrt{\frac{50}{3}}$ rad/s，大于第一问中的角速度，小球向左上方摆起，根据牛顿第二定律，结合几何关系求出细线AC与竖直方向的夹角．

解答 解：（1）当细线1上的张力为零时，小球的重力和细线2对小球的拉力的合力提供小球做圆周运动的向心力，即：
mgtan 37°=mω${\;}_{1}^{2}$lsin 37°，
代入数据解得：ω₁=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$ rad/s；
（2）当ω₂=$\sqrt{\frac{50}{3}}$rad/s时，由于ω₂＞ω₁，故小球应向左上方摆起．
由几何关系可知，B点距C点的水平和竖直距离均为：
d=lcos37°=0.8 m，
细线1的长度为：l′=0.2 m．
假设细线1上的张力仍为零，设此时细线2与竖直轴的夹角为α，则可得：
mgtan α=mω${\;}_{2}^{2}$lsin α，
代入数据可解得：cos α=0.6，
即：α=53°，
由几何关系可知，此时细线1恰好竖直且细线的张力为零，故此时细线2与竖直方向的夹角为53°．
答：（1）角速度ω₁的大小为$\frac{5\sqrt{2}}{2}$ rad/s；
（2）细线2与竖直方向的夹角为53°．

点评 解决本题的关键知道小球做圆周运动向心力的来源，结合牛顿第二定律进行求解，在第二问中，要知道小球的角速度大于第一问中的角速度，小球将向左上方摆起．