Question

4．长度为L轻绳栓一质量为m小球，小球在竖直面内做圆周运动．（重力加速度取g）
（1）要使小球在竖直面内做完整圆周运动，从受力角度分析，临界条件是什么；
（2）从运动和力角度分析小球从最低点到最高点做完整圆周运动过程中速率不断减小的原因；
（3）若小球除了受到重力之外还始终受到一个与圆周面平行的水平向右的恒力作用，且恒力大小与重力相等，计算小球在竖直面内做完整圆周运动的最小速度并说明小球最小速度的位置．

Answer 1

分析 （1）小球在最高点时受重力和绳子的拉力，分析受力，结合牛顿第二定律得出临界条件即可；
（2）向下运动的过程中重力做功由此分析即可；
（2）根据力的合成判断出力的合力，在合力的反向延长线上此位置速度最小，根据牛顿第二定律列式即可求出最高点的临界速度．

解答 解：（1）小球在最高点时受重力和绳子的拉力，它们的合力提供向心力，则：
$T+mg=\frac{{mv}_{0}^{2}}{L}$
可知小球的速度越小则绳子的拉力越小，当绳子的拉力恰好等于0时，小球的速度最小，小球刚好能通过最高点．
所以从受力的角度来说，小球在竖直面内做圆周运动的临界条件是恰好由重力来提供向心力．
（2）小球从最高点向下运动的过程中，绳子的拉力不做功，只有重力做功，根据动能定理可知，合外力对小球做正功则小球的动能增大，速率增大；
（3）由题意可知，小球受到的合力${F}_{合}=\sqrt{2}mg$，方向与水平方向成45°，故最小速度位于位置在在与水平方向成45°的左上方：
${F}_{合}=\frac{m{v}^{2}}{L}$
解得：$v=\sqrt{\sqrt{2}gL}$
答：（1）从受力角度分析，小球在竖直面内做圆周运动的临界条件是恰好由重力来提供向心力；
（2）小球从最高点到最低点做完整圆周运动过程中速率不断增大的原因是小球从最高点向下运动的过程中，重力对小球做正功．
（3）小球运动的最小速度$\sqrt{\sqrt{2}gL}$，位置在在与水平方向成45°的左上方．

点评 小球在最高点时，要注意绳子与杆的区别：绳子只能提供拉力；杆提供的了可能是拉力，也可能是支持力．假设法是常用的解法．