Question

10．半径为R的半球型碗底的光滑内表面，质量为m的小球正以角速度ω在水平面内做匀速圆周运动．若碗的半径为R，试求：
（1）此时小球对碗壁的压力
（2）小球离碗底的高度H．

Answer 1

分析 小球在光滑碗内靠重力和支持力的合力提供向心力，根据向心力和重力的关系求出小球与半球形碗球心连线与竖直方向的夹角，根据几何关系求出平面离碗底的距离H．

解答 解：小球靠重力和支持力的合力提供向心力，小球做圆周运动的半径为r=Rsinθ，
根据力图可知：sinθ=$\frac{{F}_{向}}{{F}_{N}}=\frac{mRsinθ{ω}^{2}}{{F}_{N}}$
解得：F_N=mω²R
根据牛顿第三定律可知对碗壁的压力为mω²R
tanθ=$\frac{{F}_{向}}{mg}=\frac{mRsinθ{ω}^{2}}{mg}$
解得cosθ=$\frac{g}{R{ω}^{2}}$
所以H=R-Rcosθ=R-$\frac{g}{{ω}^{2}}$．
答：（1）此时小球对碗壁的压力为mω²R
（2）小球离碗底的高度H为R-$\frac{g}{{ω}^{2}}$．．

点评 解决本题的关键知道小球做圆周运动向心力的来源，运用牛顿第二定律和几何关系进行求解．