Question

15．如图所示，光滑的平行金属导轨间距为L，导轨平面与水平夹角成α角，导轨下端接有阻值为R的电阻．质量为m的金属细杆ab与绝缘轻质弹簧相连静止在导轨上，ab与导轨下端平行弹簧劲度系数为k，上端固定，弹簧与导轨平面平行，整个装置处在垂直于导轨平面斜向上的匀强磁场中，磁感应强度为B．现给杆一沿轨道向下的初速度v₀，杆向下运动至速度为零后，再沿轨道平面向上运动达最大速度v₁，然后减速为零，再沿轨道平面向下运动，一直往复运动，最终到静止（金属细杆的电阻为r，导轨电阻忽略不计）．重力加速度为g．则（　　）

• A． 杆静止时弹簧伸长量为x=$\frac{mgsinα}{k}$
• B． 杆获得初速度v₀的瞬间，通过R的电流为$\frac{BL{v}_{0}}{R}$
• C． 杆由v₀开始运动直到最后静止，电阻R上产生的焦耳热为$\frac{Rm{{v}_{0}}^{2}}{2（R+r）}$
• D． 当杆的速度为v₁时，离最初静止时的位置的距离为$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{1}}{k（R+r）}$

Answer 1

分析 根据胡克定律结合平衡条件求解弹簧伸长量；给杆一沿轨道向下的初速度v₀，切割磁感线产生的感应电动势为 E=BLv₀；根据欧姆定律可求出通过R的电流大小．杆由初速度v₀开始运动直到最后静止，弹簧的弹性势能不变，杆还静止在开始的位置，动能转化为内能，根据能量守恒求解焦耳热；由题知道杆沿轨道平面向上运动的最大速度为v₁，此时杆所受的合外力为零．分别根据平衡条件和胡克定律求出杆静止时和速度为v₁时弹簧伸长的长度，由几何关系可求得距离．

解答 解：A、杆静止时，弹簧的弹力等于重力沿斜面向下的分力，即kx=mgsinα，解得弹簧伸长量为x=$\frac{mgsinα}{k}$，故A正确；
B、细杆获得初速度瞬间，产生的感应电动势为：E=BLv₀；根据欧姆定律得：I₀=$\frac{E}{R+r}=\frac{BL{v}_{0}}{R+r}$，故B错误；
C、杆最后静止时，杆受到重力、导轨的支持力和弹簧的拉力，根据平衡条件和胡克定律可知，弹簧伸长的长度与原来静止时相同，所以杆静止在初始位置，
由能量守恒得：Q=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$，根据焦耳定律可知电阻R上产生的焦耳热为Q_R=$\frac{R}{R+r}Q$=$\frac{Rm{{v}_{0}}^{2}}{2（R+r）}$，故C正确；
D、当杆的速度为v₁时弹簧伸长x₁，由平衡条件得：kx₁=mgsinα+BI₁L，即kx₁=kx+BI₁L，
此时有：I₁=$\frac{{E}_{1}}{R+r}=\frac{BL{v}_{1}}{R+r}$，而△x=x₁-x，联立解得：△x=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{1}}{k（R+r）}$，故D正确．
故选：ACD．

点评 对于电磁感应问题研究思路常常有两条：一条从力的角度，重点是分析安培力作用下导体棒的平衡问题，根据平衡条件列出方程；另一条是能量，分析涉及电磁感应现象中的能量转化问题，根据动能定理、功能关系等列方程求解．