Question

8．三根重为G，长为a的均质杆对称搁在地上，底端相距也均为a，如图所示．A杆顶端所受作用力的大小$\frac{\sqrt{2}}{4}$G；若一重为G的人坐在A杆中点，则A杆顶端所受作用力变为$\frac{\sqrt{3}}{3}$G．

Answer 1

分析 以A杆与地面的接触点为支点，对A杆进行受力分析，由杠杆的平衡条件列方程求解．

解答 解：三木杆组成一个正四面体，已知正四面体边长a，A端高：h=$\sqrt{{a}^{2}-（\frac{\sqrt{3}}{3}a）^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$a
设杆与底面的夹角β，则由几何知识有：sinβ=$\frac{h}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，cosβ=$\sqrt{1-si{n}^{2}β}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$
设BC的中垂线与底面的夹角是α，则：sinα=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，cosα=$\frac{1}{3}$．
（1）以A杆为研究对象，A杆受力如图一所示．
A杆与地面的接触点为支点，杆所受重力G的力臂为：L_重=$\frac{a}{2}$cosβ=$\frac{\sqrt{3}}{6}$a
杆顶端所受力F的力臂，有：L_F=asinβ=$\frac{\sqrt{6}}{3}$a
 由杠杆平衡条件，得：GL_重=FL_F，
即：G×$\frac{\sqrt{3}}{6}$a=F×$\frac{\sqrt{6}}{3}$a
解得：F=$\frac{\sqrt{2}}{4}$G，方向水平向左．
（2）以A杆为研究对象，受力如图二所示．由于人处于静止状态，
所以人对杆的压力F_压力摩擦力f'大小等于人的重力G，方向竖直向下，
人对杆的作用力力臂 L_人=$\frac{a}{2}$cosβ=$\frac{\sqrt{3}}{6}$a
BC杆所组成面对杆的作用力F_N，力臂等于四面体的高h，
   L_FN=h=$\frac{\sqrt{6}}{3}$a
由杠杆的平衡条件得：GL_人+GL_重=FL_F+F_NL_FN，
即 G×$\frac{\sqrt{3}}{6}$a+G×$\frac{\sqrt{3}}{6}$a=F×$\frac{\sqrt{6}}{3}$a+F_N×$\frac{\sqrt{6}}{3}$a
解得：F_N=$\frac{\sqrt{2}}{4}$G，
A杆顶端所受作用力的大小：
   F_合=$\sqrt{{F}^{2}+{F}_{N}^{2}+2F{F}_{N}cosα}$
代入解得 F_合=$\frac{\sqrt{3}}{3}$G，方向斜向右上方，如图所示．
故答案为：$\frac{\sqrt{2}}{4}$G，$\frac{\sqrt{3}}{3}$G．

点评 本题的关键要正确进行受力分析，要注意杆受力分布在空间，要运用合成法确定某一平面内的合力，同时要注意数学知识的应用．