Question

13．如图所示，用两根长度相等的轻绳，下端悬挂一个质量为m的物体，上端分别固定在水平天花板上的M、N点，M、N间距为s，已知两绳所能承受的最大拉力为T，则每根绳的长度不得短于$\frac{sT}{\sqrt{4{T}^{2}-{m}^{2}{g}^{2}}}$．

Answer 1

分析 以物体为研究对象，分析受力情况：重力和两根绳子的拉力，根据平衡条件可知，两根绳子拉力的合力一定，当绳子的夹角越大时，绳子的拉力越大，当绳子的拉力达到最大时，绳子的夹角最大，而MN两点间距离一定，则绳子的长度最短．根据平衡条件求出两绳间最大的夹角，再由几何知识求解绳子的最短长度．

解答 解：当绳子的拉力达到最大时，两绳的长度最短．设两绳的夹角为2α．以物体为研究对象，分析受力情况，作出力图如图．根据平衡条件得：
cosα=$\frac{\frac{1}{2}mg}{T}$=$\frac{mg}{2T}$
根据几何知识得，每根绳的最短长度为：
L=$\frac{\frac{s}{2}}{sinα}$=$\frac{s}{2\sqrt{1-co{s}^{2}α}}$
代入整理得：L=$\frac{sT}{\sqrt{4{T}^{2}-{m}^{2}{g}^{2}}}$
故答案为：$\frac{sT}{\sqrt{4{T}^{2}-{m}^{2}{g}^{2}}}$．

点评 本题是物体平衡中临界问题，抓住临界条件：绳子刚要断时拉力达到最大值是关键．对于绳子的长度，往往根据几何知识求解．