Question

18．如图所示为放置在竖直平面内游戏滑轨的模拟装置，滑轨由四部分粗细均匀的金属杆组成，其中倾斜直轨AB与水平直轨CD长均为L=4m，圆弧形轨道APD和BQC均光滑，AB、CD与两圆弧形轨道相切于A、B、C、D点，BQC的半径为r=1m，APD的半径为R，O₂A、O₁B与竖直方向的夹角均为θ=37°．现有一质量为m=1kg的小球穿在滑轨上，以E_k0=36J的初动能从B点开始沿BA向上运动恰好能通过圆弧形轨道APD的最高点，小球与两段直轨道间的动摩擦因数均为μ=0.25，设小球经过轨道连接处均无能量损失．（g=10m/s²，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8）求：
（1）求圆弧形APD的半径R为多少？
（2）求小球第二次到达D点时的动能；
（3）小球在CD段上运动的总路程．

Answer 1

分析 （1）小球恰好能够通过圆弧APD的最高点时速度为零，运用动能定理可求得圆弧形APD的半径R．
（2）根据动能定理求出小球从B点出发又回到B点时的动能，根据动能定理判断其能上升的最大高度，若不能上滑到最高点，由于重力的分力大于滑动摩擦力，小球会下滑，求出小球在AB杆上摩擦产生的热量．根据能量守恒求出第二次经过D点的动能．
（3）通过第二问解答知小球能够第二次到达D点，根据能量守恒定律讨论小球能否第二次通过D点返回后上升到B点，从而确定小球的运动情况，最后根据动能定理求出小球在CD段上运动的总路程．

解答 解：（1）小球恰好过弧形轨道的最高点时速度为零．
从B到弧形轨道的最高点的过程，由动能定理得：
-mg（R-Rcos θ）+Lsin θ]-μmgLcos θ=0-E_k0
解得：R=2m
（2）小球从B点出发到第一次回到B点的过程中，根据动能定理得
-μmgLcos θ-mgL=E_KB-E_k0
解得  E_KB=18J
小球沿BA向上运动到最高点，距离B点s
则有 E_KB=μmgscos θ+mgssin θ
解得 s=2.25m
小球继续向下运动，当小球第二次到达D点时动能为E_KD
mg（r+rcos θ）+ssin θ]-μmgscos θ-μmgL=E_KD-0
解得 E_KD=17J
（3）小球第二次到D点时的动能为17J，沿DP弧上升后再返回DC段，到C点时的动能为7J．小球无法继续上升到B点，滑到BQC某处后开始下滑，之后受到摩擦力作用，小球最终停在CD上的某点，由动能定理得，E_kD=μmgs₁
解得：s₁=6.8m．
小球在CD段上运动的总路程为  s=2L+s₁=14.8 m．
答：
（1）圆弧形APD的半径R为2m．
（2）小球第二次到达D点时的动能是17J；
（3）小球在CD段上运动的总路程是14.8m．

点评 本题过程较复杂，关键是理清过程，搞清运动规律，合适地选择研究的过程，运用动能定理和能量守恒定律进行解题．