题目内容

8．如图所示，竖直放置的光滑半圆形轨道与动摩擦因数为μ=0.34的水平面AB相切于B点，A、B两点相距L=2.5m，半圆形轨道的最高点为C，现将一质量为m=0.1kg的小球（可视为质点）以初速度v0=9m/s沿AB轨道从A点弹出，g=10m/s2．求
（1）小球到达B点时的速度大小及小球在A、B之间的运动时间；
（2）欲使小球能从最高点C水平抛出，则半圆形轨道的半径应满足怎样的设计要求？
（3）在满足上面（2）设计要求的前提下，半圆形轨道的半径为多大时可以让小球落到水平轨道上时离B点最远？最远距离是多少？

分析 （1）根据动能定理求小球到达B点时的速度大小，根据位移等于平均速度乘以时间，列式求解时间．
（2）欲使小球能从最高点C水平抛出，C点的速度必须满足m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$≥mg，结合机械能守恒定律列式求解．
（3）由平抛运动的规律得到水平位移与轨道半径的关系，再由数学知识求解最值及条件．

解答 解：（1）A到B过程，由动能定理得：
-μmgL=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
可得：vB=$\sqrt{{v}_{0}^{2}-2μgL}$=$\sqrt{{9}^{2}-2×0.34×10×2.4}$=8m/s
由L=$\frac{{v}_{0}{+v}_{B}}{2}$t，得：t=$\frac{2L}{{v}_{0}+{v}_{B}}$=$\frac{5}{9+8}$s≈0.29s
（2）B到C过程，由机械能守恒得：
2mgr+$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
欲使小球能从最高点C水平抛出，C点的速度必须满足：m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$≥mg
联立解得：r≤1.28m
（3）小球离开C点后做平抛运动，则有：
x=vCt
2r=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
结合上题的结果可得：x=2$\sqrt{（{v}_{B}^{2}-4gr）•\frac{r}{g}}$=2$\sqrt{（{v}_{B}^{2}-4gr）•\frac{4gr}{4{g}^{2}}}$
根据数学知识知，当${v}_{B}^{2}$-4gr=4gr，即r=$\frac{{v}_{B}^{2}}{8g}$=$\frac{{8}^{2}}{80}$m=0.8m时，x有最大值，最大值为：
xmax=3.2m
答：（1）小球到达B点时的速度大小是8m/s，小球在A、B之间的运动时间是0.29s；
（2）欲使小球能从最高点C水平抛出，则半圆形轨道的半径应满足r≤1.28m的设计要求．
（3）在满足上面（2）设计要求的前提下，半圆形轨道的半径为0.8m时可以让小球落到水平轨道上时离B点最远，最远距离是3.2m．

点评 本题关键要正确分析三个运动过程的规律，把握临界条件，运用数学知识求极大值．

练习册系列答案
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