Question

3．滑板运动是一项陆地上的“冲浪运动”，滑板运动员可在不同的滑坡上滑行，做出各种动作给人以美的享受．如图甲所示，abcdef为同一竖直平面上依次平滑连接的滑行轨道，其中ab段水平，H=3m，bc段和cd段均为斜直轨道，倾角θ=37°，de段是一半径R=2.5m的四分之一圆弧轨道，O点为圆心，其正上方的d点为圆弧的最高点，滑板及运动员总质量m=60kg，运动员滑经d点时轨道对滑板支持力用N_d表示，忽略摩擦阻力和空气阻力，取g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8．除下述问（2）中运动员做缓冲动作以外，均可把滑板及运动员视为质点．
（1）从bc段紧靠b处无初速滑下，求N_d的大小；
（2）运动员改为从b点以v₀=4m/s的速度水平滑出，落在bc上时通过短暂的缓冲动作使他只保留沿斜面方向的速度继续滑行，求缓冲动作后的速度为多大？
（3）运动员缓冲之后是否会从d点滑离轨道？请通过计算得出结论．

Answer 1

分析 运动员离开b点做平抛运动，落在斜面上时，竖直方向上的位移和水平方向上的位移的比值等于tanθ，根据这一关系求出运动的时间，从而求出落在斜面上时在竖直方向上的分速度．落在bc上时通过短暂的缓冲动作使他只保留沿斜面方向的速度继续滑行，对落地点的速度沿垂直斜面方向和沿斜面方向正交分解，求出沿斜面方向的分速度，即为沿斜面滑行的速度，然后根据动能定理求出d点的速度，与d点的临界速度进行比较，判断是否会从d点滑离轨道．

解答 解：（1）开始滑行至d点，由机械能守恒定律得：
mg（H-R）=$\frac{1}{2}$mv²①
mg-N=m$\frac{{v}^{2}}{R}$②
由①②解得：N=360N
（2）当以v₀=4m/s从b点水平滑出时，运动员做平抛运动落在Q点，如图所示．设bQ=s₁
s₁sin37°=$\frac{1}{2}$gt²④
s₁cos37°=v₀t⑤
由④⑤得t=$\frac{2{v}_{0}tan37°}{g}$=$\frac{2×4×0.75}{10}$=0.6s⑥
v_y=gt=10×0.6=6m/s⑦
在Q点缓冲后
v_Q=v_ysin37°+v₀cos37°=6×0.6+4×0.8=6.8m/s⑧
mg（H-$\frac{1}{2}$gt）-mgR=$\frac{1}{2}$mv_d²-$\frac{1}{2}$mv_Q²⑨
运动员恰好从d点滑离轨道应满足mg=$\frac{mv{′}^{2}}{R}$⑩
由⑨⑩代入数据解得
v_d'²-v_d²=4.76
即v_d'＞v_d
可见滑板运动员不会从圆弧最高点d滑离轨道．        
答：（1）运动员从bc段紧靠b处无初速滑下，N_d的大小为360N；
（2）滑板运动员不会从圆弧最高点d滑离轨道．

点评 解决本题的关键知道平抛运动落在斜面上，竖直方向上的位移和水平方向上的位移的比值是定值，根据该关系可求出时间．以及在外轨道做圆周运动，最高点有最大速度，此时正压力为0．