Question

6．如图，平行长直金属导轨水平放置，导轨间距为l，一端接有阻值为R的电阻；整个导轨处于竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度大小为B；一根质量为m的金属杆置于导轨上，与导轨垂直并接触良好．已知金属杆在导轨上开始运动的初速度大小为v₀，方向平行于导轨．忽略金属杆与导轨的电阻，不计摩擦．证明金属杆运动到总路程的λ（0≤λ≤1）倍时，安培力的瞬时功率为P=$\frac{{{{（1-λ）}^2}{B^2}{l^2}v_0^2}}{R}$．

Answer 1

分析 金属棒运动切割磁感线产生感应电动势，回路中有感应电流，感应电流在磁场中受到安培力的作用，取极短的时间运用动量定理列式，运用微元法证明．

解答 证明：设运动过程中任意时刻的速度为v，运动的总位移为x，则E=Blv，而$i=\frac{E}{R}$，则金属棒受到的安培力$F=Bil=\frac{{{B^2}{l^2}v}}{R}$
在极端的时间△t内，由动量定理得-F•△t=m•△v
即$-\frac{{{B^2}{l^2}v△t}}{R}=m△v$，对全过程累加得$-\frac{{{B^2}{l^2}x}}{R}=m{v_0}$
当x'=λx时，$v={v_0}-\frac{{{B^2}{l^2}λx}}{mR}$，即v=（1-λ）v₀
此时安培力$F'=\frac{{（1-λ）{B^2}{l^2}{v_0}}}{R}$，瞬时功率$P=F'v=\frac{{{{（1-λ）}^2}{B^2}{l^2}v_0^2}}{R}$．
所以金属杆运动到总路程的λ（0≤λ≤1）倍时，安培力的瞬时功率为P=$\frac{{{{（1-λ）}^2}{B^2}{l^2}v_0^2}}{R}$．

点评 此题涉及微元法的应用，微元法在自主招生考试中经常出现，值得引起高度重视．同时，应用动量定理解决安培力的相关问题，在华约自主招生中经常出现，最近的是2011年华约自主招生物理试题第7题，详见参考文献．