题目内容
6.如图,平行长直金属导轨水平放置,导轨间距为l,一端接有阻值为R的电阻;整个导轨处于竖直向下的匀强磁场中,磁感应强度大小为B;一根质量为m的金属杆置于导轨上,与导轨垂直并接触良好.已知金属杆在导轨上开始运动的初速度大小为v0,方向平行于导轨.忽略金属杆与导轨的电阻,不计摩擦.证明金属杆运动到总路程的λ(0≤λ≤1)倍时,安培力的瞬时功率为P=$\frac{{{{(1-λ)}^2}{B^2}{l^2}v_0^2}}{R}$.分析 金属棒运动切割磁感线产生感应电动势,回路中有感应电流,感应电流在磁场中受到安培力的作用,取极短的时间运用动量定理列式,运用微元法证明.
解答 证明:设运动过程中任意时刻的速度为v,运动的总位移为x,则E=Blv,而$i=\frac{E}{R}$,则金属棒受到的安培力$F=Bil=\frac{{{B^2}{l^2}v}}{R}$
在极端的时间△t内,由动量定理得-F•△t=m•△v
即$-\frac{{{B^2}{l^2}v△t}}{R}=m△v$,对全过程累加得$-\frac{{{B^2}{l^2}x}}{R}=m{v_0}$
当x'=λx时,$v={v_0}-\frac{{{B^2}{l^2}λx}}{mR}$,即v=(1-λ)v0
此时安培力$F'=\frac{{(1-λ){B^2}{l^2}{v_0}}}{R}$,瞬时功率$P=F'v=\frac{{{{(1-λ)}^2}{B^2}{l^2}v_0^2}}{R}$.
所以金属杆运动到总路程的λ(0≤λ≤1)倍时,安培力的瞬时功率为P=$\frac{{{{(1-λ)}^2}{B^2}{l^2}v_0^2}}{R}$.
点评 此题涉及微元法的应用,微元法在自主招生考试中经常出现,值得引起高度重视.同时,应用动量定理解决安培力的相关问题,在华约自主招生中经常出现,最近的是2011年华约自主招生物理试题第7题,详见参考文献.
练习册系列答案
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