Question

10．已知一质点X方向做变加速直线运动，已知其初速度为v₀，加速度方向与初速度方向相同．
（1）若其加速度随时间的变化关系为a=a₀-kt，式中a₀，k（k＞0）均为常量，求当t=t₀时（a≠0）质点的速率
（2）若其加速度随位移的变化关系为a=a₀+kx，式中a₀，k（k＞0）均为常量，求当x=x₀时质点的速率．

Answer 1

分析 （1）将加速度用速度和时间的变化量来表示，然后化简得到速度和时间的变化量关系式，再对其进行累加即可求解；
（2）将加速度用位移和时间的变化量来表示，然后化简得到位移和时间的变化量关系式，再对其进行累加即可求解．

解答 解：（1）加速度$a=\frac{△v}{△t}={a}_{0}-kt$，那么，△v=a₀△t-kt△t=$a△t-\frac{1}{2}k△{t}^{2}$，所以，当t=t₀时质点的速率$v={v}_{0}+{a}_{0}{t}_{0}-\frac{1}{2}k{{t}_{0}}^{2}$；
（2）加速度$a=\frac{△v}{△t}=\frac{△x}{△t}•\frac{△v}{△x}=\frac{v△v}{△x}=\frac{\frac{1}{2}△{v}^{2}}{△x}={a}_{0}+kx$，那么，$△{v}^{2}=2{a}_{0}△x+2kx△x=2{a}_{0}△x+k△{x}^{2}$，所以，当x=x₀时质点的速率$v=\sqrt{{{v}_{0}}^{2}+2{a}_{0}{x}_{0}+k{{x}_{0}}^{2}}$；
答：（1）若其加速度随时间的变化关系为a=a₀-kt，式中a₀，k（k＞0）均为常量，则当t=t₀时（a≠0）质点的速率为${v}_{0}+{a}_{0}{t}_{0}-\frac{1}{2}k{{t}_{0}}^{2}$；
（2）若其加速度随位移的变化关系为a=a₀+kx，式中a₀，k（k＞0）均为常量，则当x=x₀时质点的速率为$\sqrt{{{v}_{0}}^{2}+2{a}_{0}{x}_{0}+k{{x}_{0}}^{2}}$．

点评 在变速运动的运动学问题上，我们要熟悉速度、加速度、位移互相之间的关系式，并能对其进行相互转化．