Question

8．如图所示，ABCDE为固定在竖直平面内的轨道，ABC为直轨道，AB光滑，BC粗糙，CDE为光滑圆弧轨道，轨道半径为R，∠COD=θ（θ＜5°），直轨道与圆弧轨道相切于C点，其中圆心O与BE、C’与C均处于同一水平面上，OD竖直．现有一质量为m的小物体（可以看作质点）从斜面上的A点静止滑下，小物体与BC间的动摩擦因数为μ，现要使小物体第一次滑入圆弧轨道后即恰好在C和C’间做简谐运动（重力加速度为g）．求：
（1）小物体过D点时对轨道的压力大小．
（2）直轨道AB部分的长度S．

Answer 1

分析 先根据机械能守恒定律求出到达D点时的速度大小然后根据牛顿第二定律列方程求所受支持力的大小；
对全过程应用动能定理列方程即可求解．

解答 解：（1）小物体下滑到C点速度为零才能第一次滑入圆弧轨道即恰好做简谐运动．
从C到D由机械能守恒定律有：$mgR（1-cosθ）=\frac{1}{2}m{v_D}^2-0$
在D点根据牛顿第二定律得：$N'-mg=m\frac{{{v_D}^2}}{R}$
根据牛顿第三定律得：N=N'
解以上方程可得：N=3mg-2mgcosθ
（2）从A到C由动能定理有：mgsinθ（S+Rcotθ）-μmgcosθ•Rcotθ=0
解方程得：S=（μcot²θ-cotθ）R
答：（1）小物体过D点时对轨道的压力大小为=3mg-2mgcosθ．
（2）直轨道AB部分的长度S为（μcot²θ-cotθ）R

点评 本题是动能定理、向心力公式知识的综合，小物体下滑到C点速度为零，小物体才能第一次滑入圆弧轨道即刚好做简谐运动．