Question

2．如图所示，光滑的半球壳半径为R，固定在地面上，O点在球心的正下方，一小球由距O点很近的A点由静止放开，同时在O点正上方有一小球自由落下，若运动中阻力不计，为使两球在O点相碰，小球应由h=$\frac{{（2n+1）}^{2}}{8}{π}^{2}R（n=0，1，2，…）$高处自由落下．

Answer 1

分析 从O点上方下落的小球做自由落体运动，从A点释放的小球近似看做单摆，根据各自的规律即可求得时间的表达式，若使两球在圆弧最低点O处相遇，要考虑到在轨道上运动的周期性，然后列出等式即可．当n=0时，球自由下落的高度最小．

解答 解：设从O点上方下落的小球从离弧形槽最低点h高处开始自由下落，到达O点的时间为：t₁=$\sqrt{\frac{2h}{g}}$
从A点释放的小球近似看做单摆，其周期为：：$T=2π\sqrt{\frac{R}{g}}$
由于从A点释放的小球运动的周期性，所以该小球到达O点的时间为：
${t}_{2}=\frac{T}{4}+n\frac{T}{2}=\frac{2n+1}{2}•π\sqrt{\frac{R}{g}}$，n=0，1，2，…
由于两个小球在O点相遇，故有：t₂=t₁
解得：h=$\frac{{{{（2n+1）}^2}}}{8}{π^2}R（n=0，1，2，…）$
故答案为：$\frac{{（2n+1）}^{2}}{8}{π}^{2}R（n=0，1，2，…）$．

点评 该题的要考虑到从A点释放的小球运动的周期性，写出它到达最低点的时刻的通式是解题的关键．