Question

13．如图甲所示，一刚性矩形金属线框从高处自由下落，刚好匀速进入一匀强磁场区域，然后穿出磁场区域，已知线圈质量为m，电阻为R，长为l₁，宽为l₂，磁感应强度为B，磁场区域高度为d，假设线框运动过程中不翻转，整个过程不计空气阻力．

（1）若l₂＜d，试计算线框刚进入磁场时的速度大小，同时分析线框完全在磁场中做何种运动？
（2）若l₂=d，试分析线框刚进入磁场到刚好完全离开磁场的过程中能量是如何转化的？通过分析、推导说明此过程中能量转化是守恒的．
（3）若将线框改为长度为a的金属棒，如图乙所示，金属棒由静止释放进入磁场，假设金属棒能保持水平状态穿过磁场，分析说明金属棒在磁场中产生感应电动势的原因并推导感应电动势E与瞬时速度v的关系式．

Answer 1

分析 （1）根据共点力的平衡条件和闭合电路的欧姆定律联立求解速度大小；线框完全进入磁场后根据受力情况确定运动情况；
（2）根据机械能和内能的变化分析能量的转化；根据功能关系知重力势能完全转化为焦耳热；
（3）根据洛伦兹力使得电子移动分析电动势产生的原因；根据洛伦兹力和电场力相等推导电动势的表达式．

解答 解：（1）线框匀速进入磁场，重力等于安培力，mg=BIl₁，
根据闭合电路的欧姆定律可得：$I=\frac{E}{R}=\frac{B{l}_{1}v}{R}$，
解得：v=$\frac{mgR}{{B}^{2}{l}_{1}^{2}}$；
线框完全进入磁场后磁通量不变，不再产生感应电流和安培力，线框只受重力作用，故做匀加速直线运动；
（2）动能不变，重力势能转化为电能，电能转化为焦耳热；
线框穿过磁场过程：由于保持匀速，动能不变，重力势能减少了2mgl₂，
线框因发热初速度焦耳热为Q=I²Rt，
其中t=$\frac{2{l}_{2}}{v}$，mg=BIl₁，
联立解得：Q=2mgl₂，
这个过程重力势能完全转化为焦耳热；
（3）金属棒中自由电子因在磁场中运动受洛伦兹力的作用向一端移动，使得金属棒两端出现等量异种电荷，这是产生电动势的本质原因；
电场力等于洛伦兹力可得：qE_场强=qvB，
又因为E_场强=$\frac{U}{a}$，
解得：U=Bav，
断路时的电压等于电动势，所以有E′=Bav．
答：（1）若l₂＜d，线框刚进入磁场时的速度大小为$\frac{mgR}{{B}^{2}{l}_{1}^{2}}$，线框完全在磁场中做匀加速直线运动；
（2）若l₂=d，试分析线框刚进入磁场到刚好完全离开磁场的过程中重力势能转化为电能，电能转化为焦耳热；
（3）金属棒在磁场中产生感应电动势的原因是内部自由电子在洛伦兹力作用下从金属棒的一端移动的另一端；感应电动势E与瞬时速度v的关系式为E′=Bav．

点评 对于电磁感应问题研究思路常常有两条：一条从力的角度，重点是分析安培力作用下导体棒的平衡问题，根据平衡条件列出方程；另一条是能量，分析涉及电磁感应现象中的能量转化问题，根据动能定理、功能关系等列方程求解．