Question

11．如图所示，光滑水平面上，质量为m的小球A和质量为$\frac{m}{3}$的小球B通过轻质弹簧相连并处于静止状态，弹簧处于自由伸长状态；质量为m的小球C以初速度v₀沿AB连线向右匀速运动，并与小球A发生弹性正碰．在小球B的右侧某位置固定一块弹性挡板（图中未画出），当小球B与挡板发生正碰后立刻将挡板撤走．不计所有碰撞过程中的机械能损失，弹簧始终处于弹性限度以内，小球B与固定挡板的碰撞时间极短．求：小球B与挡板碰后弹簧弹性势能的最大值的范围．

Answer 1

分析 不计所有碰撞过程中的机械能损失，系统的机械能是守恒的．系统的合外力为零，总动量也守恒，若A、B动量相等时B与挡板碰撞，碰后瞬间B球反向且动量大小不变，当A、B速度同时为零时，弹簧弹性势能最大．若B与挡板碰撞时，B的速度很小（约为零），当两球速度相等时，弹簧的弹性势能最大，根据两大守恒定律进行解答．

解答 解：C与A碰撞过程动量守恒，取向右为正方向，由动量守恒定律有    mv₀=mv_C+mv_A
由机械能守恒有    $\frac{1}{2}m{v_0}^2=\frac{1}{2}m{v_C}^2+\frac{1}{2}m{v_A}^2$
解得 v_C=0，v_A=v₀．
若A、B动量相等时B与挡板碰撞，碰后瞬间B球反向且动量大小不变，当A、B速度同时为零时，弹簧弹性势能最大，为 ${E_p}={E_k}=\frac{1}{2}m{v_0}^2$
若B与挡板碰撞时，B的速度很小（约为零），当两球速度相等时，弹簧的弹性势能最大，A、B动量守恒               
则有 $m{v_0}=（m+\frac{m}{3}）v$
由能量守恒有         ${E_p}=\frac{1}{2}m{v_0}^2-\frac{1}{2}•\frac{4}{3}m{v^2}$
解得       ${E_p}=\frac{1}{8}m{v_0}^2$
综上，结论为$\frac{1}{8}m{v_0}^2≤{E_p}≤\frac{1}{2}m{v_0}^2$．
答：小球B与挡板碰后弹簧弹性势能的最大值的范围为$\frac{1}{8}m{v_0}^2≤{E_p}≤\frac{1}{2}m{v_0}^2$．

点评 本题是系统动量守恒和机械能守恒的问题．两个质量相等的小球发生弹性碰撞时，将交换速度．分过程进行研究．