Question

15．如图所示，固定于水平面的“?”形导线框处于磁感应强度大小为B，方向竖直向下的匀强磁场中，导线框两平行导轨间距为d，左端接一电动势为E₀，内阻不计的电源，一质量为m、电阻为r的导体棒MN垂直平行导轨放置并接触良好，闭合开关S，导体棒从静止开始运动，当导体棒运动距离L时，达到最大速度，忽略摩擦阻力和导轨的电阻，平行导轨足够长，求：（1）导体棒的最大速度；
（2）导体棒从静止开始运动距离L的过程中，通过导体棒的电量及发热量；
（3）若导体棒MN在达到最大速度时，断开开关S，然后在导体棒MN的左边垂直导轨放置一根与MN完全相同的导体棒PQ，则导体棒PQ的最大速度．

Answer 1

分析 （1）速度最大时导体棒产生的感应电动势等于电源电动势，由此求解；
（2）对导体棒用动量定理列方程求解电荷量；根据能量守恒定律求解产生的热量；
（3）根据动量守恒定律列方程求解导体棒PQ的最大速度．

解答 解：（1）闭合开关S后，线框与导体组成的回路中产生电流，导体棒受到安培力作用开始加速运动，导体切割磁感线会使电路中的电流变小，加速度变小，当导体切割磁感线产生的电动势等于电源电动势时，电路中的电流为零，导体棒不受安培力作用，合外力为零，开始做匀速运动，即达到稳定运动．
有E₀=Bdv，解得$v=\frac{E_0}{Bd}$；
（2）对导体棒用动量定理：BI_id△t=m△v_i，
而q=It，所以有：Bdq=mv，
解得：$q=\frac{{m{E_0}}}{{{B^2}{d^2}}}$；
根据能量守恒定律可得${E_0}q=Q+\frac{1}{2}m{v^2}$，
解得$Q=\frac{mE_0^2}{{2{B^2}{d^2}}}$；
（3）断开电源，加上金属棒PQ后，到两棒运动稳定，两导体棒组成的系统合外力为零，动量守恒，
根据动量守恒定律可得：mv=2mv₁，
解得${v_1}=\frac{v}{2}=\frac{E_0}{2Bd}$．
答：（1）导体棒的最大速度为$\frac{{E}_{0}}{Bd}$；
（2）导体棒从静止开始运动距离L的过程中，通过导体棒的电量为$\frac{m{E}_{0}}{{B}^{2}{d}^{2}}$，产生的热量为$\frac{m{E}_{0}^{2}}{2{B}^{2}{d}^{2}}$；
（3）导体棒PQ的最大速度为$\frac{{E}_{0}}{2Bd}$．

点评 对于电磁感应问题研究思路常常有两条：一条从力的角度，重点是分析安培力作用下导体棒的平衡问题，根据平衡条件列出方程；另一条是能量，分析涉及电磁感应现象中的能量转化问题，根据动能定理、功能关系等列方程求解．