Question

1．如图，两条竖直放置的平行光滑导轨，间距为L，导轨上端接有一平行板电容器，电容为C．导轨处于水平向里的匀强磁场中，磁感应强度大小为B，紧贴导轨水平放置一质量为m的金属棒，由静止释放且在下滑过程中保持与导轨垂直并良好接触．已知重力加速度大小为g，忽略所有电阻．求：
（1）电容器所带电量Q与金属棒速度v大小的关系；
（2）通过必要的推理过程判定金属棒在下滑过程中做何种运动；
（3）设平行板电容器板间距离为d，棒开始运动的同时在电容器两板间靠近右极板处由静止释放一质量为m₀、电量为q的正电粒子（不计重力），求t₀时刻（此时，粒子没有到达左极板）粒子的速度v₀．

Answer 1

分析 （1）电容器两端的电压等于导体棒两端的电压，根据法拉第电磁感应定律和电容的计算公式求解；
（2）根据动量定理和q=It结合电容的计算公式列方程可得加速度a为定值，由此判断金属棒的运动情况；
 （3）对于带正电的粒子，根据牛顿第二定律得到加速度的表达式，作出加速度和时间关系图象，根据图象面积表示的物理意义求解．

解答 解：（1）电容器两端的电压等于导体棒两端的电压，即为：U=BLv，
根据电荷量与电压的关系可得：Q=CU=CBLv；
（2）设金属棒的速度大小为v时，经历的时间为t，通过金属棒的平均电流为I，根据动量定理可得：
mgt-BILt=mv，
其中Q=It=CBLv，
解得：v=$\frac{mg}{C{B}^{2}{L}^{2}+m}•t$，
根据匀变速直线运动速度时间关系v=at可得：a=$\frac{mg}{C{B}^{2}{L}^{2}+m}$．则知加速度a为定值，金属棒向下做匀加速直线运动；
 （3）对于带正电的粒子，根据牛顿第二定律可得：$q\frac{U}{d}={m}_{0}a′$，
其中U=BLv=BLat，
解得：a′=$\frac{qBL}{{m}_{0}d}•\frac{mg}{C{B}^{2}{L}^{2}+m}•t$，
即粒子运动的加速度与时间成正比，作出a′-t图象如图所示，

根据图象可得：v₀=$\frac{1}{2}{a}_{0}{t}_{0}$=$\frac{qBLmg{t}_{0}^{2}}{2{m}_{0}d（m+{B}^{2}{L}^{2}C）}$．
答：（1）电容器所带电量Q与金属棒速度v大小的关系为Q=CBLv；
（2）金属棒在下滑过程中做匀加速直线运动；
（3）t₀时刻粒子的速度为$\frac{qBLmg{t}_{0}^{2}}{2{m}_{0}d（m+{B}^{2}{L}^{2}C）}$．

点评 对于电磁感应问题研究思路常常有两条：一条从力的角度，重点是分析安培力作用下导体棒的平衡问题，根据平衡条件列出方程；另一条是能量，分析涉及电磁感应现象中的能量转化问题，根据动能定理、功能关系等列方程求解．