Question

14．如图所示，质量为M、长为L的薄板置于光滑的水平面上，右端放置质量为m的小物块，质量为M₀的电动小车通过细绳绕过光滑的小定滑轮与薄板右端相连，小车沿水平平台带动薄板（右端位于A点处）由静止开始向右运动，物块与薄板间的动摩擦因数为μ，小车与平台间的摩擦力大小恰为其重力的μ倍．运动过程中小车电动机的输出功率恒为P，当薄板向右运动的距离为2L时（未画出），物块从薄板左端滑出，此后又经过t₀时间，薄板继续运动到右端到达B点．已知AO与水平面的夹角为α，BO与水平面的夹角为θ，O点与薄板的高度差为h，重力加速度为g．求：

（1）物块脱离薄板时的速度大小v₁和运动时间t₁；
（2）从开始运动到薄板的右端到达B点的过程中，系统因摩擦产生的焦耳热Q；
（3）从开始运动到薄板的右端到达B点的过程中，细绳对薄板的拉力做的功W．

Answer 1

分析 （1）物块在薄板上滑动时做匀加速运动，由牛顿第二定律求出物块的加速度，根据加速度和定义式和速度位移公式求解．
（2）由相对位移与摩擦力大小的乘积求系统因摩擦产生的焦耳热Q．
（3）对电动小车和物块、薄板组成的系统分别运用功能原理列式，可求得细绳对薄板的拉力做的功W．

解答 解：（1）物块脱离薄板前相对薄板向左滑动，在薄板对它的滑动摩擦力作用下相对水平面向右匀加速直线运动，设其加速度为a，根据牛顿第二定律有 μmg=ma
根据加速度的定义有 a=$\frac{{v}_{1}-0}{{t}_{1}}$
根据匀变速直线运动的规律有 ${v}_{1}^{2}$=2a（2L-L）
联立解得 v₁=$\sqrt{2μgL}$，t₁=$\sqrt{\frac{2L}{μg}}$
（2）根据功能关系可知，在整个运动过程中，物块在薄板上滑动产生的焦耳热为 Q₁=μmgL
电动小车与平台之间因摩擦产生的焦耳热 Q₂=μM₀g（$\frac{h}{sinα}$-$\frac{h}{sinθ}$）
所以系统因摩擦产生的焦耳热 Q=Q₁+Q₂=μmgL+μM₀g（$\frac{h}{sinα}$-$\frac{h}{sinθ}$）；
（3）当薄板的右端到达B点时，设薄板的速度为v₂，电动小车的速度为v．
对电动小车，根据功能关系有 P（t₁+t₀）=$\frac{1}{2}{M}_{0}{v}^{2}$+W+Q₂．
对物块、薄板组成的系统，根据功能关系有 W=$\frac{1}{2}{M}_{0}{v}_{2}^{2}$+$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$+Q₁．
根据薄板、小车的牵连关系可知，两者速度满足 v=v₂cosθ
联立解得 W=$\frac{MP}{M+{M}_{0}co{s}^{2}θ}$（t₀+$\sqrt{\frac{2L}{μg}}$）-$\frac{μ{M}_{0}g}{M+{M}_{0}co{s}^{2}θ}$（$\frac{Mh}{sinα}$-$\frac{Mh}{sinθ}$-2mLcos²θ）
答：
（1）物块脱离薄板时的速度大小v₁为$\sqrt{2μgL}$，运动时间t₁为$\sqrt{\frac{2L}{μg}}$．
（2）从开始运动到薄板的右端到达B点的过程中，系统因摩擦产生的焦耳热Q为μmgL+μM₀g（$\frac{h}{sinα}$-$\frac{h}{sinθ}$）；
（3）从开始运动到薄板的右端到达B点的过程中，细绳对薄板的拉力做的功W为$\frac{MP}{M+{M}_{0}co{s}^{2}θ}$（t₀+$\sqrt{\frac{2L}{μg}}$）-$\frac{μ{M}_{0}g}{M+{M}_{0}co{s}^{2}θ}$（$\frac{Mh}{sinα}$-$\frac{Mh}{sinθ}$-2mLcos²θ）．

点评 解决本题的关键是理解并掌握功能原理，能灵活选择研究对象和过程，分别运用功能原理列方程．要注意摩擦生热与相对位移有关．