Question

6．在地面上方某处足够大的真空室里存在着水平向右的匀强电场，分别以水平向右、竖直向下和垂直纸面向里为x轴、y轴和z轴正方向，建立如图所示的三维直角坐标系（z轴未画出）．一质量为m、带负电、电荷量为q的微粒从点P（l，0，0）由静止释放后沿直线PQ运动，经过时间t微粒运动到点Q（0，$\sqrt{3}$l，0），不计相对论效应．
（1）求匀强电场的场强E和重力加速度g的大小；
（2）若从P点以某一速度抛出，经过时间$\frac{t}{2}$微粒恰好经过O点，求微粒经过O点时动能E_k；
（3）若撤去电场，加上沿y轴正方向、磁感强度大小为B、范围足够大的匀强磁场，该微粒改为从O点沿x轴正方向以一定速度抛出，求微粒经过y轴时离O点距离的可能值．

Answer 1

分析 （1）从P点到Q点，微粒做匀加速直线运动，分别在x方向和y方向上求出加速度，由牛顿第二定律知两个方向的加速度出分别由电场力和重力产生，由运动学公式从而求出两个方向的电场强度和重力加速度．
（2）从P点抛出一个微粒，则微粒做类斜抛运动，由斜抛运动的规律可以求出到达O点的末速度，再由动能定理求出末动能．
（3）撤去电场，加上沿y轴正方向、磁感强度大小为B、范围足够大的匀强磁场，该微粒改为从O点沿x轴正方向以一定速度抛出，则微粒在竖直方向做竖直上抛运动，水平方向受洛仑兹力做匀速圆周运动．那么经过y轴的值是整数个周期内竖直方向的位移．

解答 解：（1）设微粒从P到Q的位移∠OPQ为θ根据几何关系得：
S=$\sqrt{{l}^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}$，S=2l       ①
tanθ=$\frac{\sqrt{3}l}{l}$，θ=60°         ②
根据位移公式：S=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$    ③
根据匀加速直线运动的条件可得：qE=macosθ           ④
由以上①②③④得到：E=$\frac{2ml}{q{t}^{2}}$         ⑤
根据匀加速直线运动的条件可得：mg=masinθ            ⑥
由①②③⑥可得：g=$\frac{2\sqrt{3}l}{{t}^{2}}$    ⑦
（2）设抛出的速度为v₂，在x轴y轴的分速度为别为v_x、v_y，在竖直方向上做
竖直上抛运动．
2v_y=g×$\frac{g}{2}$   ⑧
在水平方向上做匀加速直线运动，
l=v_x×$\frac{t}{2}$+$\frac{1}{2}×\frac{Eq}{m}（\frac{t}{2}）^{2}$    ⑨
根据平行四边形定则：v=$\sqrt{{{v}_{x}}^{2}+{{v}_{y}}^{2}}$     ⑩
从P至P的过程中，根据动能定理有qEl=E_k-$\frac{1}{2}m{{v}_{2}}^{2}$⑾
联立以上几式得：E_k=$\frac{7m{l}^{2}}{2{t}^{2}}$⑿
（3）设抛出的速度为v₃，水平方向合力是洛仑兹力，竖直方向合力是重力，
可知微粒在水平方向做匀速圆周运动，在竖直方向做自由落体运动．
水平面内，根据牛顿第二定律：qBv₃=$\frac{m{{v}_{3}}^{2}}{R}$　　　
匀速圆周运动的周期T=$\frac{2πR}{{v}_{3}}$⒁
竖直方向，与y轴交点O的距离为y，
则y=$\frac{1}{2}g（nT）^{2}$   （n=1，2，3…）⒂
由以上几式联立得：y=$\frac{4\sqrt{3}{π}^{2}{n}^{2}{m}^{2}l}{{q}^{2}{B}^{2}{t}^{2}}$    （n=1，2，3…）
答：（1）匀强电场的场强E为$\frac{2ml}{q{t}^{2}}$、重力加速度g的大小为$\frac{2\sqrt{3}l}{{t}^{2}}$．
（2）若从P点以某一速度抛出，经过时间$\frac{t}{2}$微粒恰好经过O点，则微粒经过O点时动能E_k为$\frac{7m{l}^{2}}{2{t}^{2}}$．
（3）若撤去电场，加上沿y轴正方向、磁感强度大小为B、范围足够大的匀强磁场，该微粒改为
从O点沿x轴正方向以一定速度抛出，则微粒经过y轴时离O点距离的可能值为$\frac{4\sqrt{3}{π}^{2}{n}^{2}{m}^{2}l}{{q}^{2}{B}^{2}{t}^{2}}$ （n=1，2，3…）

点评 本题的难点是带电微粒受三个力作用在复合场中运动问题，对微粒做好受力分析是关键，受力决定于在三维坐标中的运动情况．