Question

3．如图所示，一个人用一根只能承受46N拉力的绳子，拴着一个质量为1kg的小球，在竖直平面内做圆周运动，已知圆心O离地面h=10m，转动中小球在最低点时绳子恰好断了（g取10m/s²）求：
（1）绳断后，绳子多长时小球抛出的射程最大？
（2）最大射程是多少．

Answer 1

分析 绳子断时，绳子的拉力恰好是46N，对小球受力分析，根据牛顿第二定律和向心力的公式可以求得速度与绳长的关系式，再根据平抛运动的规律求最大射程．

解答 解：设绳长为R．对小球受力分析，根据牛顿第二定律得：
F-mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，
得：v=$\sqrt{\frac{（F-mg）R}{m}}$
绳断后，小球做平抛运动，落地时射程最大，设所用时间为t．则有：
h-R=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
得：t=$\sqrt{\frac{2（h-R）}{g}}$
射程为：x=vt=$\sqrt{\frac{（F-mg）R}{m}}$•$\sqrt{\frac{2（h-R）}{g}}$=$\sqrt{\frac{2（F-mg）R（h-R）}{m}}$
根据数学知识得知，当R=h-R，即R=$\frac{1}{2}$h=5m，射程x最大，则最大射程为：
x_max=$\sqrt{\frac{2（F-mg）R（h-R）}{m}}$=$\sqrt{\frac{2×（46-10）×5×5}{1}}$m=30$\sqrt{2}$m
答：（1）绳断后，绳子5m长时小球抛出的射程最大．
（2）最大射程是30$\sqrt{2}$m．

点评 解决本题的关键要抓住绳断的临界条件，利用圆周运动和平抛运动的规律得到射程的表达式，结合数学知识求解极大值．