Question

5．一架在海疆上空匀速巡航的飞机计划投弹轰炸侵入海疆的敌舰．飞机距离海面高度为h，以速度v₁匀速飞行，敌舰以速度v₂同向航行，v₁＞v₂，飞机与敌舰航线在同一竖直平面内．不计炸弹受到的空气阻力．
（1）为使从飞机上释放的炸弹能击中敌舰，释放炸弹时，飞行员到敌舰的视线的俯角（即飞机和敌舰连线与水平方向夹角）应为多大？（以反正切表示出俯角）；
（2）飞行员从释放炸弹到听到敌舰爆炸声，经历的时间是多少？已知爆炸声的传播速度为v₃，v₃＞v₁，设炸弹击中敌舰后敌舰立即爆炸；
（3）若释放炸弹时，敌舰刚好关闭发动机，已知敌舰关闭发动机后所受阻力恒为f，敌舰质量为m，飞行员在距离敌舰水平距离为多少时投放炸弹炸弹，炸弹能击中敌舰？

Answer 1

分析 （1）炸弹释放后做平抛运动，根据平抛运动的基本公式求出运动时间和水平位移，再根据几何关系求出飞行员到敌舰的视线的俯角的正切值即可；
（2）先求出击中敌舰时，敌舰到飞行员的距离，再求出声音传到飞行员的时间，而飞行员从释放炸弹到听到敌舰爆炸声经历的时间为此时间加上炸弹飞行的时间；
（3）敌舰关闭发动机，做匀减速直线运动，求出敌舰运动的最长时间和最长位移，再分敌舰被击中时是静止还是运动两种情况分析即可求解．

解答 解：（1）从释放炸弹到击中敌舰的过程：
炸弹平抛时间 $t=\sqrt{\frac{2h}{g}}$，
飞机水平位移${s}_{1}={v}_{1}t={v}_{1}\sqrt{\frac{2h}{g}}$，
敌舰水平位移  ${s}_{2}={v}_{2}t={v}_{2}\sqrt{\frac{2h}{g}}$，
可得tanθ=$\frac{h}{{s}_{1}-{s}_{2}}=\frac{\sqrt{gh}}{\sqrt{2}（{v}_{1}-{v}_{2}）}$．
所以θ=$arctan[\frac{\sqrt{gh}}{\sqrt{2}（{v}_{1}-{v}_{2}）}]$．
（2）设敌舰爆炸声传到飞机的时间为t′，则有：$（{v}_{3}t{′）}^{2}=（{v}_{1}t′）^{2}+{h}^{2}$，
可得$t′=\frac{h}{\sqrt{{{v}_{3}}^{2}-{{v}_{1}}^{2}}}$．
所以飞行员从释放炸弹到听到敌舰爆炸声经历的时间为：
t_总=t+t′=$\sqrt{\frac{2h}{g}}+\frac{h}{\sqrt{{{v}_{3}}^{2}-{{v}_{1}}^{2}}}$．
（3）敌舰能够运动的最长时间为${t}_{1}=\frac{{v}_{2}}{\frac{f}{m}}=\frac{m{v}_{2}}{f}$，最长位移${s}_{3}=\frac{{{v}_{2}}^{2}}{2a}=\frac{m{{v}_{2}}^{2}}{2f}$．
a．t≥t₁，炸弹击中敌舰时，敌舰已停止运动，△s=v₁t-s₃=${v}_{1}\sqrt{\frac{2h}{g}}-\frac{m{{v}_{2}}^{2}}{2f}$．
b．t＜t₁，炸弹击中敌舰时，敌舰运动距离为：${s}_{4}={v}_{2}t-\frac{1}{2}a{t}^{2}$=${v}_{2}\sqrt{\frac{2h}{g}}-\frac{fh}{mg}$．
$△s={v}_{1}t-{s}_{4}=（{v}_{1}-{v}_{2}）\sqrt{\frac{2h}{g}}+\frac{fh}{mg}$．
答：（1）飞行员到敌舰的视线的俯角（即飞机和敌舰连线与水平方向夹角）应为$arctan[\frac{\sqrt{gh}}{\sqrt{2}（{v}_{1}-{v}_{2}）}]$．
（2）飞行员从释放炸弹到听到敌舰爆炸声，经历的时间是$\sqrt{\frac{2h}{g}}+\frac{h}{\sqrt{{{v}_{3}}^{2}-{{v}_{1}}^{2}}}$．
（3）t≥t₁，飞行员在距离敌舰水平距离为${v}_{1}\sqrt{\frac{2h}{g}}-\frac{m{{v}_{2}}^{2}}{2f}$．t＜t₁，飞行员在距离敌舰水平距离为$（{v}_{1}-{v}_{2}）\sqrt{\frac{2h}{g}}+\frac{fh}{mg}$．

点评 本题主要考查了平抛运动基本规律及运动学基本公式的直接应用，抓住水平位移的关系列式求解，注意几何关系在解题中的应用，难度适中．