Question

10．如图所示，一质量m=lkg的小球套在一根同定的直杆上，直杆与水平面夹角θ=30°．现小球在F=20N的竖直向上的拉力作用下，从A点由静止出发向上运动，F作用1.2s后撤去．已知杆与球间的动摩擦因数μ=$\frac{\sqrt{3}}{6}$，g=10m/s²．求：
（1）力F作用时，小球运动的加速度a₁．
（2）小球上滑过程中距A点的最大距离x_m．
（3）若从撤去力F开始计时，小球经多长时间将经过距A点上方为2.25m的B点．

Answer 1

分析 （1）首先分析撤去外力前小球的受力情况：重力、拉力，杆的支持力和滑动摩擦力，采用正交分解法，根据牛顿第二定律求出动摩擦因数μ．
（2）由速度时间公式求出撤去F时小球的速度，匀加速上升的位移．再根据牛顿第二定律求得撤去F后小球的加速度，运用运动学公式求出最大距离．
（3）再由牛顿第二定律和运动学位移公式结合求经过B点的时间．

解答 解：（1）在力F作用时，撤去前小球的受力情况：重力、拉力，杆的支持力和滑动摩擦力，如图，由根据牛顿第二定律，得
       （F-mg）sin30°-μ（F-mg）cos30°=ma₁
解得 a₁=2.5 m/s²
（2）刚撤去F时，小球的速度 v₁=a₁t₁=2.5×1.2=3m/s    
小球的位移 x₁=$\frac{{v}_{1}}{2}{t}_{1}$=$\frac{3}{2}×1.2$m=1.8m
撤去力F后，小球上滑时有：
            mgsin30°+μmgcos30°=ma₂            
解得 a₂=7.5 m/s²
小球继续上升的时间为：t₂=$\frac{{v}_{1}}{{a}_{2}}$=$\frac{3}{7.5}$s=0.4s
小球继续上滑的最大位移 x₂=$\frac{{v}_{1}^{2}}{2{a}_{2}}$=$\frac{{3}^{2}}{2×7.5}$=0.6m
则小球上滑的最大距离为 x_m=x₁+x₂=2.4m
（3）在上滑阶段通过B点：
        x_AB-x₁=v₁ t₂-$\frac{1}{2}$a₂t₃²
解得通过B点时间 t₃=0.2 s，另t₃=0.6s （舍去）
小球返回时有：
     mgsin30°-μmgcos30°=ma₃            
解得 a₃=2.5 m/s²
小球由顶端返回B点时有：
     x_m-x_AB=$\frac{1}{2}$a₃t₄²         
解得 t₄=$\frac{\sqrt{3}}{5}$s
通过通过B点时间 t₂+t₄=$\frac{2+\sqrt{3}}{5}$s≈0.75s
答：
（1）力F作用时，小球运动的加速度a₁是2.5 m/s²；
（2）小球上滑过程中距A点最大距离x_m是2.4m；
（3）若从撤去外力开始计时，小球经0.2s和0.75s时间将经过距A点上方为2.25m的B点．

点评 牛顿定律和运动学公式结合是解决力学的基本方法．关键在于分析物体的受力情况和运动情况．当物体受力较多时，往往采用正交分解法求加速度．本题求小球上滑过程中距A点最大距离，也可运用动能定理．