Question

5．如图所示，圆形区域内有垂直于纸面的匀强磁场（图中未画出），O为圆心，P为边界上的一点．相同的带电粒子a、b（不计重力）从P点先后射入磁场，粒子a正对圆心射入，速度方向改变60°后离开磁场，粒子b射入磁场时的速度方向与粒子a射入时的速度方向成60°，已知它们离开磁场的位置相同，下列说法正确的是（　　）

• A． 两粒子的速度大小之比为$\frac{{v}_{a}}{{v}_{b}}$=$\frac{1}{2}$
• B． 两粒子在磁场中运动的时间之比为$\frac{{t}_{a}}{{t}_{b}}$=$\frac{1}{3}$
• C． 两粒子在磁场中运动的半径之比为$\frac{{r}_{a}}{{r}_{b}}$=$\frac{1}{2}$
• D． 两粒子在磁场中运动的轨迹长度之比为$\frac{{s}_{a}}{{s}_{b}}$=$\frac{2}{3}$

Answer 1

分析 根据要求画出粒子的运动轨迹，然后根据轨迹及粒子的运动规律找出半径，求出半径之比，进而得出速度之比，再由周期相等，以及运动轨迹求出时间之比，轨迹长度之比．

解答 解：根据题意，假设出粒子向下偏转（不失代表性），作出它们的运动轨迹，如下图所示，PM为v_b方向运动的粒子半径，由于∠POQ=120°，所以v_a方向运动的圆周其半径为$\sqrt{3}$PO，

根据平面几何知识容易得出图象中，PO和PM的长度之比2：$\sqrt{3}$即PM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$PO．
根据洛伦兹力提供向心力的圆周运动的半径公式R=$\frac{mv}{qB}$．
由于粒子是完全相同的，所以根据以上可得出它们的速度之比即为半径之比，半径之比为2：1，速度之比也为2：1，
故A、C错；
再由平面几何知识可得出，v_a方向的粒子运动了六分之一个圆周，而v_b方向的粒子运动了二分之一个圆周，
又它们的周期相等，所以运动的时间之比为1：3，
故B正确；
a粒子运动的弧长为：$\frac{1}{6}×2πR$，
b粒子晕倒的弧长为：$\frac{1}{2}×2πR'$，又它们的半径之比为2：1
所以运动的弧长之比为：2：3
故D正确．
故选：BD．

点评 本题是带电粒子在匀强磁场中的运动问题，解题要求熟练掌握洛伦兹力提供向心力的情形下圆周运动对应物理量的求解，如：半径，周期，速度等量，解决这种类型的问题一般都要先用到平面几何知识作图，找出轨迹和半径．