Question

9．如图所示，足够大的光滑绝缘水平桌面置于平行桌面的匀强电场和垂直桌面的匀强磁场中，在桌面建立xOy坐标系．桌面上质量m=2.0×10^-2kg、电荷量q=1×10^-4C的带正电小球从坐标原点O平行桌面以v₀=1m/s的速度射入电磁场区域．在电场和磁场的作用下发生偏转，小球到达点M（30cm，40cm）时，动能变为O点动能的0.5倍，速度方向垂直OM，此时撤掉磁场，一段时间后小球经过点N（62.5cm，0），动能变为O点动能的0.625倍．设O点电动势为0，不考虑磁场撤掉时对电场的影响，求：
（1）M点电势；
（2）匀强电场的场强大小和方向；
（3）小球由M点运动到N点所需的时间．

Answer 1

分析 （1）分析小球受力及做功情况，应用动能定理求解；
（2）在ON的延长线上找到M的等势点P，连接MP，过O点做MP的垂线，垂线方向即为场强方向，求得垂线长度，利用场强的定义式即可求得场强大小；
（3）分析小球运动为类平抛运动，求得类平抛运动的初速度及初速度方向上的位移分量，进而可求得时间．

解答 解：（1）小球在水平桌面上运动，受重力、支持力、洛伦兹力、电场力作用，
因为重力、支持力、洛伦兹力始终与运动方向垂直，所以，重力、支持力、洛伦兹力不做功；
对小球从O运动到M应用动能定理可得：$q{U}_{OM}=（0.5-1）×\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$；
有：${φ}_{M}={φ}_{O}-{U}_{OM}=0-（-0.5）×\frac{m{{v}_{0}}^{2}}{2q}$=$0.5×\frac{2.0×1{0}^{-2}×{1}^{2}}{2×1×1{0}^{-4}}V=50V$；
（2）同（1）可得，N点的电势${φ}_{N}={φ}_{O}-{U}_{ON}=0-（0.625-1）×\frac{m{{v}_{0}}^{2}}{2q}$=$0.375×\frac{2.0×1{0}^{-2}×{1}^{2}}{2×1×1{0}^{-4}}V=37.5V$；
在匀强电场中，沿一条直线方向场强大小不变，则令$OP=\frac{62.5}{37.5}×50cm=\frac{250}{3}cm$，
可得：φ_P=50V；
；
连接MP，则有$\frac{OH}{MH}=\frac{MH}{HP}$，所以，OM⊥MP，
因为φ_M＞φ_O，所以，匀强电场的场强大小为MO方向，有：$E=\frac{{U}_{MO}}{OM}=\frac{50V}{50cm}=100V/m$；
（3）小球到达点M时，动能变为O点动能的0.5倍，则速度为：$v=\frac{\sqrt{2}}{2}{v}_{0}=\frac{\sqrt{2}}{2}m/s$；
小球初速度方向为MP方向，加速度方向为MO方向，所以，加速度方向与初速度方向垂直，小球做类平抛运动，作NG⊥MP，G在MP上，，
则有$\frac{MG}{MP}=\frac{ON}{OP}$，所以有：$MG=\frac{ON}{OP}×MP=\frac{62.5}{\frac{250}{3}}×\sqrt{（\frac{250}{3}）^{2}-5{0}^{2}}cm$=$\frac{3}{4}×50×\sqrt{（\frac{5}{3}）^{2}-1}cm=50cm$；
所以，小球由M点运动到N点所需的时间为：$t=\frac{MG}{v}=\frac{50cm}{\frac{\sqrt{2}}{2}m/s}$=$\frac{0.5m}{\frac{\sqrt{2}}{2}m/s}=\frac{\sqrt{2}}{2}s$．
答：（1）M点电势为50V；
（2）匀强电场的场强大小为100V/m，方向为MO方向；
（3）小球由M点运动到N点所需的时间为$\frac{\sqrt{2}}{2}s$．

点评 给定一匀强电场中，则沿任一方向都是匀强电场，只是场强大小不大于给定场强．