Question

4．如图（甲）所示，一固定的矩形导体线圈水平放置，线圈的两端接一只小灯泡，在线圈所在空间内均匀分布着与线圈平面垂直的磁场．已知线圈的匝数n=100匝，电阻r=1.0Ω，所围成矩形的面积S=0.040m²，小灯泡的电阻R=9.0Ω，磁场的磁感应强度随时间如图乙所示的规律变化．不计灯丝电阻随温度的变化，求：
（1）线圈中产生感应电动势的最大值
（2）小灯泡消耗的电功率
（3）在磁感应强度变化0～$\frac{1}{4}$T的时间内，通过小灯光的电荷量

Answer 1

分析 （1）根据B-t图象读出周期T，由公式E_m=nB_mSω，ω=$\frac{2π}{T}$求出线圈中产生感应电动势的最大值；
（2）根据欧姆定律求出电流的最大值I_m，再由$I=\frac{{I}_{m}^{\;}}{\sqrt{2}}$求出电流的有效值I，再根据$P={I}_{\;}^{2}R$求灯泡消耗的功率
（3）根据法拉第电磁感应定律、欧姆定律和电流的公式求解0～$\frac{T}{4}$时间内，通过小灯泡的电荷量．

解答 解：（1）因为线圈中产生的感应电流变化的周期与磁场变化的周期相同，所以由图象可知，线圈中产生交变电流的周期为T=3.14×10^-2 s．
由图乙知B=0.01sin200t
则$\frac{△B}{△t}$=2cos200t  
线圈中感应电动势的最大值为
${E}_{m}^{\;}=n{B}_{m}^{\;}S\frac{2π}{T}=8.0V$
（2）根据欧姆定律，电路中电流的最大值为
${I}_{m}^{\;}=\frac{{E}_{m}^{\;}}{R+r}=0.80A$
通过小灯泡电流的有效值为 $I=\frac{{I}_{m}^{\;}}{\sqrt{2}}=0.40\sqrt{2}A$
灯泡消耗的电功率为 P=I²R=2.88 W
（3）在磁感应强度变化$\frac{1}{4}$周期内，线圈中感应电动势的平均值 $\overline{E}=nS\frac{△B}{△t}$
通过灯泡的平均电流 $\overline{I}=\frac{\overline{E}}{R+r}=\frac{nS△B}{（R+r）△t}$
通过灯泡的电荷量 $Q=\overline{I}△t=\frac{nS△B}{R+r}=4.0×1{0}_{\;}^{-3}C$
答：（1）线圈中产生感应电动势的最大值8.0V
（2）小灯泡消耗的电功率2.88W
（3）在磁感应强度变化0～$\frac{1}{4}$T的时间内，通过小灯光的电荷量$4.0×1{0}_{\;}^{-3}C$

点评 求解交变电流的电功率时要用有效值．在电磁感应中通过导体截面的电量经验公式是Q=n$\frac{△φ}{R+r}$，可以在推导的基础上记住．