题目内容

14．如图所示，质量为M=2kg，长度为L1的长木板B静止在光滑的水平面上，距木板右侧L0=0.5m处有一固定光滑半圆轨道，CD为其竖直直径，半圆轨道在底端C处的切线与木板B的上表面在同一水平面上，水平传送带以恒定速率v=$\sqrt{5}$m/s顺时针转动，其上表面与半圆轨道在最高点处的切线也在同一水平面上．某时刻质量为m=1kg的小滑块A（可视为质点）以大小为v0=6m/s水平速度从长木板B的左端滑上木板，之后A、B向右运动．当长木板B与半圆轨道碰撞瞬间小滑块A的速度为v1=4m/s，并且此时小滑块A恰好滑上半圆轨道，从A、B开始运动到滑上半圆轨道的过程中A、B的速度-时间图象如图乙所示．已知小滑块恰好能通过半圆轨道最高点D，最后滑到传送带左端P时速度刚好减为零，已知小滑块与水平传送带间的动摩擦因数μ=0.1，g=10m/s2．求：

（1）B与半圆轨道碰撞瞬间木板B的速度大小和木板B长度L1；
（2）竖直半圆轨道的半径R；
（3）小滑块从开始运动至到达P处的过程中因摩擦而产生的热量Q．

分析 （1）A在长木板B上向右滑动的过程，根据图象的斜率求出滑块A的加速度大小，由牛顿第二定律求小滑块与长木板间摩擦因数．再对A和系统，分别运用动能定理列式，求解B与半圆轨道碰撞瞬间木板B的速度大小和木板B长度L1；
（2）对A从C到D的过程，运用动能定理列式，再结合在D点，重力等于向心力列式，联立可求得圆轨道的半径R．
（3）由运动学公式求出A在B相对滑动的位移，求出摩擦生热．分析A在传送带的运动过程，由运动学公式求D到P的运动时间，即可求得A与传送带间的相对位移的大小，从而求得热量Q．

解答 解：（1）由图象得：小滑块在木板上做匀减速时的加速度大小为  a1=$\frac{6-4}{1}$=2m/s2；
设小滑块与长木板间摩擦因数为μ1，由μ1mg=ma1，解得：μ1=0.2
设碰撞瞬间木板B的速度大小为vB，对B，由动能定理得：
   μ1mgL0=$\frac{1}{2}M{v}_{B}^{2}$
解得：vB=1m/s
对长木板和小滑块构成的系统，由能量守恒得：
   μ1mgL1=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$-$\frac{1}{2}M{v}_{B}^{2}$
解得：木板B的长度 L1=4.5m
（2）小滑块恰好过D点速度大小为vD，则有：
   mg=m$\frac{{v}_{D}^{2}}{R}$
由C到D机械能守恒定律知：
  mg•2R=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}$
联立解得：R=0.32m，vD=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$m/s
（3）设传送带两转轴之间的距离为L2，小滑块滑上传送带做匀减速运动，加速度大小为：
   a2=μg=1m/s2；
由 ${v}_{D}^{2}$=2a2L2，代入数据解得：L2=1.6m
小滑块在B上滑动时因摩擦而产生的热量为：Q1=9J
小滑块相对传送带滑行的距离为：s=L2+v•$\frac{{L}_{2}}{\frac{{v}_{D}}{2}}$
代入数据解得 s=5.6m
产生的热量为：Q2=μmgs=0.1×1×10×5.6J=5.6J
故整个过程中因摩擦产生的热量为：Q=Q1+Q2=14.6J
答：
（1）B与半圆轨道碰撞瞬间木板B的速度大小是1m/s，木板B长度L1是4.5m．
（2）竖直半圆轨道的半径R是0.32m；
（3）小滑块从开始运动到到达P处的过程中因摩擦而产生的热量Q是14.6J．

点评 本题的关键是分析清楚滑块A的运动过程，抓住每个过程和各个状态的特点和物理规律，要注意摩擦产生的热量要根据相对位移求解．

练习册系列答案
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