Question

19．如图甲所示，宽L=0.5m、倾角θ=30°的金属长导轨上端安装有R=1Ω的电阻．在轨道之间存在垂直于轨道平面的磁场，磁感应强度B按图乙所示规律变化．一根质量m=0.1kg的金属杆垂直轨道放置，距离电阻x=1m．t=0时由静止释放，金属杆最终以υ=0.4m/s速度沿粗糙轨道向下匀速运动．除R外其余电阻均不计，滑动摩擦力等于最大静摩擦力．求：
（1）当金属杆匀速运动时电阻R上的电功率为多少？
（2）某时刻（t＞0.5s）金属杆下滑速度为0.2m/s，此时的加速度多大？
（3）金属杆何时开始运动？

Answer 1

分析 （1）根据法拉第电磁感应定律求感应电动势，由欧姆定律求电阻R中的电流，根据电功率计算公式求解电功率；
（2）导体棒最终以v=0.4m/s的速度匀速运动，根据受力平衡求出摩擦力，t＞0.5s的某个时刻ab下滑速度为0.2m/s，由牛顿第二定律求出加速度；
（3）求解安培力的大小，分析金属杆的受力情况确定运动情况．

解答 （1）匀速时磁感应强度应无变化，B=1T
根据闭合电路的欧姆定律可得：I=$\frac{BLv}{R}$=$\frac{1×0.5×0.4}{1}$A=0.2A，
根据电功率计算公式可得：P=I²R=0.2²×1W=0.04W；
（2）匀速时根据共点力的平衡可得：mgsin30°=F_A+f，
而安培力为：F_A=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R}=\frac{{1}^{2}×0．{5}^{2}×0.4}{1}N=0.1N$，
所以解得摩擦力为：f=0.4N，
当速度v′为0.2m/s时，安培力为：F′_A=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v′}{R}=\frac{{1}^{2}×0．{5}^{2}×0.2}{1}N=0.05N$，
根据牛顿第二定律可得：mgsin30°-F′_A-f=ma′，
解得：a′=0.5m/s²；
（3）由图b可知：释放瞬间磁场变化率k=1T/s，
感应电流为：I′=$\frac{E}{R}$=$\frac{kS}{R}$=$\frac{kLx}{R}$=$\frac{1×0.5×1}{1}A$=0.5A，
安培力为：F″_A=I′LB=0.5×0.5×0.5N=0.125N，
由于f+F″_A＞mgsin30°，所以开始释放时金属杆无法下滑，在0.5s内，安培力不断增加，范围0.125-0.25N，所以在0.5s前金属杆无法运动．
金属杆在0.5s后感应电流消失的瞬间才开始下滑．
答：（1）当金属杆匀速运动时电阻R上的电功率为0.04W；
（2）某时刻（t＞0.5s）金属杆下滑速度为0.2m/s，此时的加速度为0.5m/s²；
（3）金属杆在0.5s后感应电流消失的瞬间才开始下滑．

点评 对于电磁感应问题研究思路常常有两条：一条从力的角度，重点是分析安培力作用下导体棒的平衡问题，根据平衡条件列出方程；另一条是能量，分析涉及电磁感应现象中的能量转化问题，根据动能定理、功能关系等列方程求解．