Question

7．如图，足够宽的液槽中水的折射率n=$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，M是可绕轴转动的平面镜，M与水平面的夹角为α．光线从液槽的侧壁水平射入水中．
（i）若α=30°，求经平面镜反射后的光线从水面射出时折射角的正弦值；
（ii）若经平面镜反射后的光线能从水面射出，求α的取值范围．

Answer 1

分析 （i）作出光线经平面镜反射后从水面射出的光路，由几何关系和光的反射定律求得在水面发生折射的入射角，再由折射定律求出折射角正弦．
（ii）经平面镜反射后的光线能从水面射出，不能在水面发生全反射，根据sinC=$\frac{1}{n}$求临界角C．分别作出光在右侧恰好发生全反射时的光路和光在左侧恰好发生全反射时的光路，结合几何关系求解．

解答 解：（ⅰ） 作出光线经平面镜反射后从水面射出的光路如图1所示．

在水面发生折射的入射角：β=90°-2α ①
由折射定律，有：$\frac{sinγ}{sinβ}=n$ ②
代入数据，得：折射角γ的正弦值：$sinγ=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
（ⅱ）设光线在水中反生全反射的临界角为C，则：$sinC=\frac{1}{n}=\frac{3}{{2\sqrt{3}}}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，也即：C=60°      
若光在右侧恰好发生全反射时，作出光路如图2，则由几何关系可知：2α₁+C=90°  ③
若光在左侧恰好发生全反射时，作出光路如图3，则由几何关系可知：2（90°-α₂）+C=90° ④
即：α₁＜α＜α₂
解得：15°＜α＜75°

答：
（i）若α=30°，经平面镜反射后的光线从水面射出时折射角的正弦值是$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
（ii）若经平面镜反射后的光线能从水面射出，α的取值范围是15°＜α＜75°．

点评 画出光路图是解决几何光学问题的基础，本题要充分运用平面镜的光学特征和几何知识研究出入射角和折射角，作出光线恰好发生全反射时的光路，就能轻松解答．