Question

8．垂直纸面向外的匀强磁场中有Oa、Ob和dc三根光滑金属杆，Oa和Ob互相垂直且无缝对接，Oa竖直，Ob水平，两根金属杆的材料相同，单位长度电阻为r，dc杆电阻不计，分别与Oa的M点和Ob的N点接触，和Oa、Ob的夹角均为45°，MN=$\sqrt{2}$L．
（1）若cd以垂直与MN的速度v₀斜向下匀速运动，求t秒时cd受到的安培力；
（2）M点固定在Oa上不动，cd与Ob的交点N以水平速度v₁沿Ob匀速运动，求t秒时的电流；
（3）在（1）问的基础上，已知杆的质量为m，重力加速度g，则求t时刻外力F的瞬时功率．

Answer 1

分析 （1）求出金属杆的有效切割长度，根据法拉第电磁感应定律求出感应电动势，由欧姆定律求出感应电流，由安培力公式求出安培力大小；
（2）求出金属杆转动的感应电动势，求出回路总电阻，根据欧姆定律求出电流；
（3）根据能量守恒求外力F的功率；

解答 解：（1）安培力F_安=BIL₁…①
感应电流$I=\frac{E}{R}$…②
感应电动势E=BL₁v₀…③
t秒时MN距离：${L}_{1}=\sqrt{2}（L+\sqrt{2}{v}_{0}t）$…④
回路电阻$R=2r{L}_{1}^{\;}=2r（L+\sqrt{2}{v}_{0}^{\;}t）$…⑤
解得：F_安=$\frac{{B}_{\;}^{2}{v}_{0}^{\;}（L+\sqrt{2}{v}_{0}^{\;}t）}{r}$…⑥
（2）感应电流$I′=\frac{E′}{R}$…⑦
 感应电动势 $E′=BL\overline{v}$…⑧
 MN长度 $L′=\frac{L}{cosθ}$…⑨
 平均速度 $\overline{v}=\frac{0+{v}_{1}}{2}$…⑩
垂直MN的分速度${v}_{⊥}^{\;}={v}_{1}^{\;}cosθ$…⑪
回路电阻$R=r（2L+{v}_{1}^{\;}t）$…⑫
解得：$I′=\frac{BL{v}_{1}^{\;}}{2r（2L+{v}_{1}^{\;}t）}$…⑬
（3）根据能量守恒有${P}_{F安}^{\;}={P}_{F}^{\;}+{P}_{G}^{\;}$…⑭
安培力功率${P}_{F安}^{\;}={F}_{安}^{\;}{v}_{0}^{\;}$…⑮
重力的功率${P}_{G}^{\;}=mg{v}_{0}^{\;}cos45°$…⑯
外力F的瞬时功率${P}_{F}^{\;}=\frac{{B}_{\;}^{2}{v}_{0}^{2}（L+\sqrt{2}{v}_{0}^{\;}t）}{r}-\frac{\sqrt{2}mg{v}_{0}^{\;}}{2}$…⑰
答：（1）若cd以垂直与MN的速度v₀斜向下匀速运动，t秒时cd受到的安培力$\frac{{B}_{\;}^{2}{v}_{0}^{\;}（L+\sqrt{2}{v}_{0}^{\;}t）}{r}$；
（2）M点固定在Oa上不动，cd与Ob的交点N以水平速度v₁沿Ob匀速运动，t秒时的电流$\frac{BL{v}_{1}^{\;}}{2r（2L+{v}_{1}^{\;}t）}$；
（3）在（1）问的基础上，已知杆的质量为m，重力加速度g，则t时刻外力F的瞬时功率$\frac{{B}_{\;}^{2}{v}_{0}^{2}（L+\sqrt{2}{v}_{0}^{\;}t）}{r}-\frac{\sqrt{2}mg{v}_{0}^{\;}}{2}$．

点评 本题运用法拉第电磁感应定律E=BLv时，要注意L是有效的切割长度，并不就是cd棒的长度．掌握电磁感应的基本规律：法拉第定律、欧姆定律、右手定则等等是解答本题的基础．