Question

9．如图所示，在xoy平面内，有一电子源持续不断地沿x正方向每秒发射出N个速率均为v的电子，形成宽为2b，在y轴方向均匀分布且关于x轴对称的电子流．电子流沿x方向射入一个半径为R，中心位于原点O的圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直xoy平面向里，电子经过磁场偏转后均从P点射出．在磁场区域的正下方有一对平行于x轴的金属平行板K和A，其中K板与P点的距离为d，中间开有宽度为2l且关于y轴对称的小孔．K板接地，A与K两板间加有正负、大小均可调的电压U_AK，穿过K板小孔达到A板的所有电子被收集且导出，从而形成电流，已知b=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$R，d=l，电子质量为m，电荷量为e，忽略电子间相互作用．
（1）求磁感应强度B的大小；
（2）求电子流从P点射出时与负y轴方向的夹角θ的范围；
（3）当U_AK=0时，每秒经过极板K上的小孔到达板A的电子数；
（4）在图中定性画出电流i随U_AK变化的关系曲线．要求标出相关数据，且要有计算依据．

Answer 1

分析 （1）电子在磁场中做匀速圆周运动洛伦兹力提供向心力，应用牛顿第二定律可以求出磁感应强度．
（2）求出电子从P点射出时与负y轴方向的夹角极限值，然后确定其范围．
（3）求出进入小孔的电子偏角，然后求出每秒经过极板K上的小孔到达板A的电子数．
（4）由动能定理求出遏制电压，然后求出电流的表达式，再作出图象．

解答 解：（1）电子均从P点射出，电子做圆周运动的轨道半径：r=R，
电子在磁场中做匀速圆周运动洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得：evB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，
解得：$B=\frac{mv}{eR}$；
（2）上端电子从P点射出时与负y轴最大夹角θ_m，由几何关系可得$sin{θ_m}=\frac{b}{R}$，
得：θ_m=60°．
同理下端电子从P点射出时与负y轴最大夹角也为60°，范围是-60°≤θ≤60°；
（3）进入小孔的电子偏角正切值：$tanα=\frac{l}{d}$，
解得：α=45°，$y'=Rsinα=\frac{{\sqrt{2}}}{2}R$，
每秒进入两极板间的电子数n：$\frac{n}{N}=\frac{y'}{b}=\frac{{\sqrt{6}}}{3}=0.82$，
解得：n=0.82N；
（4）由动能定理得出遏制电压U_c，${U_c}=-\frac{1}{2e}m{v^2}$
与负y轴成45°角的电子的运动轨迹刚好与A板相切，其逆过程是类平抛运动，
达到饱和电流所需的最小反向电压为：$U'=-\frac{1}{4}em{v^2}$，
或根据（3）可得饱和电流大小为：i_max=0.82Ne，图象如图所示：

答：（1）磁感应强度B的大小为$\frac{mv}{eR}$；
（2）电子流从P点射出时与负y轴方向的夹角θ的范围是-60°≤θ≤60°；
（3）当U_AK=0时，每秒经过极板K上的小孔到达板A的电子数为0.82N；
（4）电流i随U_AK变化的关系曲线如图所示．

点评 本题考查了电子在磁场与电场中的运动，分析清楚电子运动过程、作出电子运动轨迹、求出电子在磁场中做圆周运动的轨道半径是解题的关键，解题时注意求出极限值然后再确定范围．