Question

4．如图所示为一皮带传送装置，其中AB段水平，长度L_AB=4m，BC段倾斜，长度足够长，倾角为θ=37°，AB和BC在B点通过一段极短的圆弧连接（图中未画出圆弧）传送带以v=4m/s的恒定速率顺时针运转．现将一质量m=1kg的工件（可看做质点）无初速度地放在A点，已知工件与传送带间的动摩擦因数μ=0.5．
（1）工件从A点开始至第一次到达B点所用的时间t；
（2）工件从第一次到达B点至第二次到达B点的过程中，工件与传送带间因摩擦而产生的热量Q．

Answer 1

分析 （1）工件先在滑动摩擦力作用下做匀加速运动，根据牛顿第二定律求得加速度，由速度公式求出匀加速运动的时间．当速度与传送带相同时做匀速直线运动，根据位移时间关系求匀速运动的时间，从而得到总时间；
（2）对工件在斜面上进行受力分析，求出工件上升时的加速度，再根据速度时间公式求出上升的时间，根据对称性求得上滑的时间，再求工件和传送带间的相对位移，即可求得热量Q．

解答 解：（1）工件刚放在水平传送带上的加速度为a₁，由牛顿第二定律得：
μmg=ma₁
解得：a₁=μg=5 m/s²
设经t₁时间工件与传送带的速度相同，则有：t₁=$\frac{v}{{a}_{1}}$=$\frac{4}{5}$s=0.8s
工件前进的位移为：x=$\frac{1}{2}{a}_{1}{t}_{1}^{2}$=$\frac{1}{2}×5×0．{8}^{2}$=1.6m
此后工件将与传送带一起匀速运动至B点，用时：${t_2}=\frac{{{L_{AB}}-{x_1}}}{v}=0.6s$
所以工件第一次到达B点所用的时间为：t=t₁+t₂=1.4s
（2）工件上升过程中受到摩擦力大小为：f=mgcosθ
由牛顿第二定律可得：工件上升的加速度大小为：a₂=$\frac{mgsinθ-f}{m}$=gsinθ-μgcosθ=10×0.6-0.5×10×0.8=2m/s²，方向沿斜面向下
由运动学公式可得：工件上升的时间为：${t_3}=\frac{v}{a_2}=2s$
下降过程加速度不变 a₃=a₂
由运动学公式可得：${t_4}=\frac{v}{a_3}=2s$
工件与传送带的相对路程为：△x=v（t₃+t₄）=4×（2+2）m=16m
摩擦生热为：Q=f△x=μmgcosθ△x=0.5×1×10×0.8×16J=64J
答：
（1）工件从A点开始至第一次到达B点所用的时间t是1.4s；
（2）工件从第一次到达B点至第二次到达B点的过程中，工件与传送带间因摩擦而产生的热量Q是64J．

点评 本题的关键分析清楚工件的运动情况，根据牛顿第二定律求解出加速过程的加速度，再根据运动学公式求解，要注意摩擦生热与相对路程有关．