Question

15．2016年12月17日是我国发射“悟空”探测卫星二周年纪念日，一年来的观测使人类对暗物质的研究又进了一步．宇宙空间中两颗质量相等的星球绕其连线中心转动时，理论计算的周期与实际观测周期不符，且$\frac{{T}_{理论}}{{T}_{观测}}$=k（k＞1）；因此，科学家认为，在两星球之间存在暗物质．假设以两星球球心连线为直径的球体空间中均匀分布着暗物质，两星球的质量均为m；那么，暗物质质量为（　　）

• A． $\frac{{k}^{2}-1}{4}$m
• B． $\frac{{k}^{2}-2}{8}$m
• C． （k²-1）m
• D． （2k²-1）m

Answer 1

分析 暗物质引力和双星之间的引力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律列式求解出暗物质的质量．

解答 解：双星均绕它们的连线的中点做圆周运动，设它们之间的距离为L，万有引力提供向心力得：
$G\frac{{m}^{2}}{{L}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}}{{T}_{理论}^{2}}•\frac{L}{2}$
解得：${T}_{理论}=πL\sqrt{\frac{2L}{Gm}}$．
根据观测结果，星体的运动周期$\frac{{T}_{理论}}{{T}_{观测}}$=k
这种差异是由双星内均匀分布的暗物质引起的，均匀分布在球体内的暗物质对双星系统的作用与一质量等于球内暗物质的总质量m'，位于中点O处的质点的作用相同．
则有：$G\frac{{m}^{2}}{{L}^{2}}+G\frac{mm′}{{（\frac{L}{2}）}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}}{{{T}_{观测}}^{2}}•\frac{L}{2}$
解得：${T}_{观测}=πL\sqrt{\frac{2L}{G（m+4m′）}}$
所以：$m′=\frac{{k}^{2}-1}{4}m$．故A正确，BCD错误．
故选：A

点评 该题属于信息题，解答本题关键找出向心力来源，然后根据牛顿第二定律列方程求解，要细心．