题目内容
20.在桌面上有一倒立的玻璃圆锥,其顶点恰好与桌面接触,圆锥的轴(图中虚线)与桌面垂直,过轴线的截面是边长为a的等边三角形,如图所示.有一半径为r的圆柱形平行光束垂直入射到圆锥的底面上,光束的中心轴与圆锥的轴重合.已知玻璃的折射率n=$\sqrt{2}$,光在空气中的传播速度为c.求:(i)光束在桌面上形成的光斑半径R;
(ii)光束在玻璃中传播的时间t.
分析 (i)平行光束垂直入射到圆锥的底面上,方向不变射到母线上发生折射,由于入射角等于60°,而玻璃的折射率为1.5,可得临界角小于45°,所以会发生光的全反射,反射光线却恰好垂直射出.故可根据几何关系可确定光斑的半径光束在桌面上形成的光斑半径R;
(ii)根据几何知识求光束在玻璃中传播的距离,由n=$\frac{c}{v}$ 求出光束在玻璃中传播的速度,从而求得光束在玻璃中传播的时间t.
解答 解:(i)设玻璃的临界角为C,根据$sinC=\frac{1}{n}$…①
得:C=45°…②
光线垂直圆锥底面BC射入玻璃时,直线传到AB面.由几何关系可知入射角 i=60°
由于i=60°>C=45°,所以光线会在AB面上发生全反射…③
光路如图,由几何关系知,反射光线恰好垂直AC面射出…④
由几何关系可知:AE=2r,在△AEG中,由于∠AEG=∠AGE=30°,则AG=AE=2r…⑤
所以,由旋转对称性可知光束在桌面上形成的光斑半径R=2r…⑥
(ii)由于△AEH为等边三角形,所以EF=AN,故光线在玻璃中的传播距离始终为L=DE+EF=MN+AN=AM=asin60°…⑦
其余入射点的光线在玻璃中的传播距离类似证明均为L,
光线在玻璃中的传播时间 t=$\frac{L}{v}$…⑧
而n=$\frac{c}{v}$…⑨
联立解得$t=\frac{nasin60°}{c}=\frac{{\sqrt{6}a}}{2c}$…⑩
另解:(ii)如图,经过任意入射点P的光线在玻璃中的传播传播路径为PQS,由于△AQT为等边三角形,所以QS=AJ,故光线在玻璃中的传播距离始终为
L=PQ+QS=MJ+AJ=AM=asin60° ⑦
光线在玻璃中的传播时间t=$\frac{L}{v}$ ⑧,而n=$\frac{c}{v}$ ⑨
联立解得 $t=\frac{nasin60°}{c}=\frac{{\sqrt{6}a}}{2c}$ ⑩
答:
(i)光束在桌面上形成的光斑半径R是2r;
(ii)光束在玻璃中传播的时间t是$\frac{\sqrt{6}a}{2c}$.
点评 本题关键之处是借助于光的折射与反射定律作出光路图,同时能灵活利用几何关系来辅助计算.
A. | 甲、乙两粒子所带电荷种类不同 | |
B. | 若甲、乙两粒子所带电荷量及运动的速率均相等,则甲粒子的质量较大 | |
C. | 若甲、乙两粒子的速率相等,则甲粒子比荷较小 | |
D. | 该磁场方向一定是垂直纸面向里 |
A. | 该“与地球相近似”的行星的同步卫星的运行速率为$\frac{2πR}{{T}_{0}}$ | |
B. | 该“与地球相近似”的行星的同步卫星的轨道半径为$\frac{ρG{T}_{0}^{2}}{3π}$ | |
C. | 该“与地球相近似”的行星表面重力加速度在两极的大小为$\frac{4}{3}$GρRπ | |
D. | 该“与地球相近似”的行星的卫星在星球表面附近做圆周运动的速率为2πR$\sqrt{\frac{ρG}{3π}}$ |
A. | 卫星与碎片碰撞前的线速度大小为$\frac{{gR}^{2}}{r}$ | |
B. | 卫星与碎片碰撞前运行的周期大小为$\frac{2πr}{R}\sqrt{\frac{r}{g}}$ | |
C. | 喷气装置对卫星和碎片整体所做的功为$\frac{(n-1)({m}_{1}+{m}_{2}){gR}^{2}}{nr}$ | |
D. | 喷气装置对卫星和碎片整体所做的功为$\frac{({n}^{2}-1)({m}_{1}+{m}_{2}){gR}^{2}}{{2n}^{2}r}$ |
A. | $\frac{{k}^{2}-1}{4}$m | B. | $\frac{{k}^{2}-2}{8}$m | C. | (k2-1)m | D. | (2k2-1)m |
A. | 该行星的半径 | B. | 该行星的质量 | ||
C. | 该行星的自转周期 | D. | 该行星同步卫星离行星表面的高度 |
A. | N 增大,f 增大 | |
B. | N 变小,f 不变 | |
C. | N 增大,f 不变 | |
D. | 关于 N 和 f 的变化,以上说法都不对 |