Question

15．如图甲所示，在平行边界MN、PQ之间存在宽度为L的匀强电场，电场周期性变化的规律如图乙所示，取竖直向下为电场正方向；在平行边界MN、EF之间存在宽度为s、方向垂直纸面向里的匀强磁场区域Ⅱ，在PQ右侧有宽度足够大、方向垂直纸面向里的匀强磁场区域Ⅰ．在区域Ⅰ中距PQ距离为L的A点，有一质量为m、电荷量为q、重力不计的带正电粒子以初速度v₀沿竖直向上方向开始运动，以此作为计时起点，再经过一段时间粒子又恰好回到A点，如此循环，粒子循环运动一周，电场恰好变化一个周期，已知粒子离开区域Ⅰ进入电场时，速度恰好与电场方向垂直，sin 53°=0.8，cos 53°=0.6．

（1）求区域Ⅰ的磁场的磁感应强度大小B₁．
（2）若E₀=$\frac{4m{{v}_{0}}^{2}}{3qL}$，要实现上述循环，确定区域Ⅱ的磁场宽度s的最小值以及磁场的磁感应强度大小B₂．
（3）若E₀=$\frac{4m{{v}_{0}}^{2}}{3qL}$，要实现上述循环，求电场的变化周期T．

Answer 1

分析 （1）粒子在区域Ⅰ做圆周运动，洛仑兹力提供向心力，结合几何关系得到轨道半径，再根据牛顿第二定律列式求解磁感应强度大小；
（2）粒子在电场中做类平抛运动，在磁场中做匀速圆周运动，画出运动轨迹，根据类平抛运动的分运动公式列式求解进入磁场的速度大小和方向，根据牛顿第二定律对磁场中的运动过程列式，同时要结合几何关系分析；
（3）电场的变化周期恰好等于粒子循环一周的时间，对粒子的圆周运动过程和类平抛运动过程分别求解时间后求和即可．

解答 解：（1）粒子在区域Ⅰ做圆周运动的半径R=L，由洛伦兹力提供向心力知：qv₀B₁=$m\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$，
联立解得：B₁=$\frac{m{v}_{0}}{qL}$；
（2）粒子在电场中做类平抛运动，离开电场时沿电场方向的速度，有：
v_y=at=$\frac{{q{E_0}}}{m}$•$\frac{L}{{v}_{0}}$=$\frac{4}{3}$v₀，
离开电场时速度的偏转角为θ，tanθ=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}=\frac{4}{3}$，θ=53°，
所以粒子离开电场时的速度为：v=$\frac{{v}_{0}}{cos53°}$=$\frac{5}{3}$v₀，
粒子在电场中偏转的距离为：y=$\frac{1}{2}$at²=$\frac{1}{2}$•$\frac{q{E}_{0}}{m}$（$\frac{L}{{v}_{0}}$）²=$\frac{2}{3}$L；
画出粒子运动轨迹的示意图如图所示，粒子在区域Ⅱ做圆周运动的圆心O₂与在区域Ⅰ做圆周运动的圆心O₁的连线必须与边界垂直才能完成上述运动，由几何关系知粒子在区域Ⅱ做圆周运动的半径为：r=$\frac{{L-\frac{2}{3}L}}{cos53°}=\frac{5}{9}L$；

所以s≥r（1-sin53°）=$\frac{L}{9}$，
根据r=$\frac{mv}{q{B}_{2}}$解得：B₂=$\frac{3m{v}_{0}}{qL}$；
（3）电场变化的周期等于粒子运动的周期，
粒子在区域Ⅰ中运动的时间为：t₁=$\frac{T_1}{2}=\frac{πm}{{q{B_1}}}=\frac{πL}{v_0}$，
粒子在电场中运动的时间为：t₂=$\frac{2L}{{v}_{0}}$，
粒子在区域Ⅱ中运动的时间为：t₃=$\frac{37}{180}×\frac{2πr}{v}=\frac{37πL}{{270{v_0}}}$，
所以周期为：T=t₁+t₂+t₃=$\frac{307π+540}{{270{v_0}}}L$．
答：（1）区域Ⅰ的磁场的磁感应强度大小B₁为$\frac{m{v}_{0}}{qL}$；
（2）若E₀=$\frac{4m{{v}_{0}}^{2}}{3qL}$，要实现上述循环，区域Ⅱ的磁场宽度s的最小值为$\frac{L}{9}$，磁场的磁感应强度大小B₂为$\frac{3m{v}_{0}}{qL}$；
（3）若E₀=$\frac{4m{{v}_{0}}^{2}}{3qL}$，要实现上述循环，电场的变化周期T为$\frac{307π+540}{{270{v_0}}}L$．

点评 本题考查粒子在电磁场中的运动问题，关键是明确粒子在电场中是做类似平抛运动，在磁场是做匀速圆周运动，同时要注意电场和磁场中运动的连接点的速度的大小和方向，还要画出轨迹图，结合几何关系分析．